与えられた式 $\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a$ を満たす数を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a$ を満たす数を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの累乗根を指数表示に変換します。

$\sqrt[3]{a^3} = (a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \times \frac{1}{3}} = a^1 = a$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

与えられた式を指数で書き換えると以下のようになります。

$a \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}} = a$

左辺を計算します。

$a \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}} = a^{1 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{6}{6} + \frac{3}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$

したがって、$a^{\frac{2}{3}} = a^1$ となります。

指数部分を比較すると $\frac{2}{3} = 1$ ということになりますが、これは明らかに矛盾しています。問題文にタイプミスがあると考えられます。正しい問題文は、答えが $a$ になるように根号の中身を調整すると $\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a} = a$ となります。

元の問題を解くと、$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{2}{3}} = a^x$とした時、$a=1$となります。$a>0$とありますのでこれは解になりません。

タイプミスがないと仮定して、$\sqrt[n]{\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5}} = a$と仮定して解きます。

$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{2}{3}}$でした。

$(a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{n}} = a$

$a^{\frac{2}{3n}} = a^1$

$\frac{2}{3n} = 1$

$2 = 3n$

$n = \frac{2}{3}$

入力すべき値は$\frac{2}{3}$だと考えられます。

3. 最終的な答え

与えられた問題文のまま解釈すると、$a = 1$ が得られますが、$a>0$ なので、これは条件を満たします。しかし、問題文に誤りがある可能性も考慮して、$\frac{2}{3}$と答えることもできます。

ここでは、a = 1と答えます。