2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 4a + 1$ の最小値を $g(a)$ とするとき、$g(a)$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 4a + 1$ の最小値を $g(a)$ とするとき、$g(a)$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

\begin{align*}

f(x) &= x^2 - 2ax + 4a + 1 \\

&= (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 + 4a + 1 \\

&= (x - a)^2 - a^2 + 4a + 1

\end{align*}

したがって、$f(x)$ の最小値は $-a^2 + 4a + 1$ であり、$g(a) = -a^2 + 4a + 1$ となります。

次に、$g(a)$ の最大値を求めます。$g(a)$ も2次関数なので、平方完成することで最大値を求めることができます。

\begin{align*}

g(a) &= -a^2 + 4a + 1 \\

&= -(a^2 - 4a) + 1 \\

&= -(a^2 - 4a + 4) + 4 + 1 \\

&= -(a - 2)^2 + 5

\end{align*}

$g(a) = -(a-2)^2 + 5$ より、$g(a)$ は $a = 2$ のとき最大値 $5$ をとります。

3. 最終的な答え

$g(a)$ の最大値は 5 です。