関数 $f(x) = -x^2 - ax + 2a^2$ (ただし、$0 \le x \le 1$) の最大値を求める問題です。$a$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 - ax + 2a^2$ (ただし、$0 \le x \le 1$) の最大値を求める問題です。$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + ax) + 2a^2$

$f(x) = -(x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2) + (\frac{a}{2})^2 + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{9}{4}a^2$

したがって、$f(x)$ の頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, \frac{9}{4}a^2)$ です。

次に、頂点の $x$ 座標 $-\frac{a}{2}$ の位置によって場合分けを行います。

(1) $-\frac{a}{2} < 0$ のとき ($a > 0$)

このとき、定義域 $0 \le x \le 1$ において、$f(x)$ は単調減少です。したがって、$x=0$ で最大値をとります。

$f(0) = -0^2 - a(0) + 2a^2 = 2a^2$

(2) $0 \le -\frac{a}{2} \le 1$ のとき ($-2 \le a \le 0$)

このとき、頂点が定義域内にあります。したがって、$x = -\frac{a}{2}$ で最大値をとります。

$f(-\frac{a}{2}) = \frac{9}{4}a^2$

(3) $-\frac{a}{2} > 1$ のとき ($a < -2$)

このとき、定義域 $0 \le x \le 1$ において、$f(x)$ は単調増加です。したがって、$x=1$ で最大値をとります。

$f(1) = -1^2 - a(1) + 2a^2 = 2a^2 - a - 1$

以上より、

(i) $a > 0$ のとき、最大値は $2a^2$

(ii) $-2 \le a \le 0$ のとき、最大値は $\frac{9}{4}a^2$

(iii) $a < -2$ のとき、最大値は $2a^2 - a - 1$

場合分けをまとめます。

$a < -2$ のとき、$2a^2 - a - 1$

$-2 \le a \le 0$ のとき、$\frac{9}{4}a^2$

$a > 0$ のとき、$2a^2$

3. 最終的な答え

$a < -2$ のとき、$2a^2 - a - 1$

$-2 \le a \le 0$ のとき、$\frac{9}{4}a^2$

$a > 0$ のとき、$2a^2$