$a$ を0でない定数とする。$x$ についての3つの不等式 \begin{align*} x+2 &> 2(2x-5) \tag{1} \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} &\ge \frac{-x+2}{6} \tag{2} \\ |x-a| &\ge 2x \tag{3} \end{align*} について、 (1) 不等式(1)を満たす $x$ の範囲を求めよ。 (2) 不等式(1), (2)を同時に満たす $x$ の範囲を求めよ。 (3) $a>0$ のとき、不等式(3)を満たす $x$ の範囲を求めよ。 (4) 不等式(1), (2), (3)を同時に満たす $x$ が存在し、かつ(1), (2), (3)を同時に満たす整数 $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を0でない定数とする。$x$ についての3つの不等式

\begin{align*}

x+2 &> 2(2x-5) \tag{1} \\

\frac{1}{3}x - \frac{1}{4} &\ge \frac{-x+2}{6} \tag{2} \\

|x-a| &\ge 2x \tag{3}

\end{align*}

について、

(1) 不等式(1)を満たす $x$ の範囲を求めよ。

(2) 不等式(1), (2)を同時に満たす $x$ の範囲を求めよ。

(3) $a>0$ のとき、不等式(3)を満たす $x$ の範囲を求めよ。

(4) 不等式(1), (2), (3)を同時に満たす $x$ が存在し、かつ(1), (2), (3)を同時に満たす整数 $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解く。

\begin{align*}

x+2 &> 2(2x-5) \\

x+2 &> 4x-10 \\

-3x &> -12 \\

x &< 4

\end{align*}

(2) 不等式(2)を解く。

\begin{align*}

\frac{1}{3}x - \frac{1}{4} &\ge \frac{-x+2}{6} \\

\frac{4x-3}{12} &\ge \frac{-x+2}{6} \\

4x-3 &\ge 2(-x+2) \\

4x-3 &\ge -2x+4 \\

6x &\ge 7 \\

x &\ge \frac{7}{6}

\end{align*}

不等式(1), (2)を同時に満たす $x$ の範囲は

$\frac{7}{6} \le x < 4$

(3) 不等式(3)を解く。

$|x-a| \ge 2x$ より、

$x-a \ge 2x$ または $x-a \le -2x$

$x-a \ge 2x$ のとき

$-x \ge a$

$x \le -a$

$x-a \le -2x$ のとき

$3x \le a$

$x \le \frac{a}{3}$

$a>0$ より、$-a < \frac{a}{3}$ であるから、 $x \le \frac{a}{3}$

(4) 不等式(1), (2), (3)を同時に満たす $x$ が存在するためには、$\frac{7}{6} \le \frac{a}{3}$ であれば良い。つまり、$a \ge \frac{7}{2}$.

不等式(1), (2)を同時に満たす $x$ の範囲は $\frac{7}{6} \le x < 4$.

この範囲の整数は 2, 3 である。

不等式(1), (2), (3)を同時に満たす整数 $x$ が存在しないためには、

$\frac{a}{3} < 2$ であればよい。

$a<6$

よって、 $\frac{7}{2} \le a < 6$

3. 最終的な答え

(1) $x < 4$

(2) $\frac{7}{6} \le x < 4$

(3) $x \le \frac{a}{3}$

(4) $\frac{7}{2} \le a < 6$