$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が $-9 \le y \le 3$ となる一次関数を、変化の割合が正の場合と負の場合それぞれについて求める。

1. 問題の内容

$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が $-9 \le y \le 3$ となる一次関数を、変化の割合が正の場合と負の場合それぞれについて求める。

2. 解き方の手順

(1) 変化の割合が正の場合

一次関数は $y = ax + b$ ($a$は変化の割合、$b$は切片)と表せる。

変化の割合が正なので、$a > 0$ である。

$x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = -2$ のとき $y = -9$、$x = 4$ のとき $y = 3$ となる。

この2点を一次関数 $y = ax + b$ が通るので、連立方程式を立てて $a$ と $b$ を求める。

$-9 = -2a + b$

$3 = 4a + b$

2式の差を取ると

$3 - (-9) = 4a - (-2a) + b - b$

$12 = 6a$

$a = 2$

$a = 2$ を $3 = 4a + b$ に代入すると

$3 = 4(2) + b$

$3 = 8 + b$

$b = -5$

よって、求める一次関数は $y = 2x - 5$ である。

(2) 変化の割合が負の場合

変化の割合が負なので、$a < 0$ である。

$x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = -2$ のとき $y = 3$、$x = 4$ のとき $y = -9$ となる。

この2点を一次関数 $y = ax + b$ が通るので、連立方程式を立てて $a$ と $b$ を求める。

$3 = -2a + b$

$-9 = 4a + b$

2式の差を取ると

$-9 - 3 = 4a - (-2a) + b - b$

$-12 = 6a$

$a = -2$

$a = -2$ を $3 = -2a + b$ に代入すると

$3 = -2(-2) + b$

$3 = 4 + b$

$b = -1$

よって、求める一次関数は $y = -2x - 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) 変化の割合が正の場合：$y = 2x - 5$

(2) 変化の割合が負の場合：$y = -2x - 1$