関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

ここで、$u = 2x^2 - x$、$v = x^3 + 1$ とおくと、

$u' = 4x - 1$、$v' = 3x^2$ となります。

したがって、

$y' = \frac{(4x - 1)(x^3 + 1) - (2x^2 - x)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$

これを展開して整理します。

$y' = \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - (6x^4 - 3x^3)}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - 6x^4 + 3x^3}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3 + 1)^2}$