与えられた関数を、指定された変数について微分する問題です。 (1) $E = -\frac{GMm}{r}$ を $r$ で微分 (2) $I = \frac{2R}{R+r}$ を $R$ で微分 (3) $W = \frac{au}{u^2+v^2}$ を $u$ で微分 (4) $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ を $l$ で微分

1. 問題の内容

与えられた関数を、指定された変数について微分する問題です。

(1) $E = -\frac{GMm}{r}$ を $r$ で微分

(2) $I = \frac{2R}{R+r}$ を $R$ で微分

(3) $W = \frac{au}{u^2+v^2}$ を $u$ で微分

(4) $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ を $l$ で微分

2. 解き方の手順

(1) $E = -\frac{GMm}{r}$ の $r$ に関する微分

定数 $GMm$ を前に出して、$r^{-1}$ を微分します。

$\frac{dE}{dr} = -GMm \frac{d}{dr} (r^{-1}) = -GMm (-1) r^{-2} = \frac{GMm}{r^2}$

(2) $I = \frac{2R}{R+r}$ の $R$ に関する微分

商の微分公式を使います。$\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$\frac{dI}{dR} = \frac{2(R+r) - 2R(1)}{(R+r)^2} = \frac{2R + 2r - 2R}{(R+r)^2} = \frac{2r}{(R+r)^2}$

(3) $W = \frac{au}{u^2+v^2}$ の $u$ に関する微分

商の微分公式を使います。$\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$\frac{dW}{du} = \frac{a(u^2+v^2) - au(2u)}{(u^2+v^2)^2} = \frac{au^2 + av^2 - 2au^2}{(u^2+v^2)^2} = \frac{-au^2 + av^2}{(u^2+v^2)^2} = \frac{a(v^2 - u^2)}{(u^2+v^2)^2}$

(4) $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ の $l$ に関する微分

$2\pi \frac{1}{\sqrt{g}}$は定数なので、前に出して、$\sqrt{l}$ を微分します。

$\frac{dT}{dl} = 2\pi \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{d}{dl} \sqrt{l} = 2\pi \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{d}{dl} (l^{\frac{1}{2}}) = 2\pi \frac{1}{\sqrt{g}} (\frac{1}{2} l^{-\frac{1}{2}}) = \frac{\pi}{\sqrt{gl}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dE}{dr} = \frac{GMm}{r^2}$

(2) $\frac{dI}{dR} = \frac{2r}{(R+r)^2}$

(3) $\frac{dW}{du} = \frac{a(v^2 - u^2)}{(u^2+v^2)^2}$

(4) $\frac{dT}{dl} = \frac{\pi}{\sqrt{gl}}$