$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$e$ の定義を利用して解きます。まず、与えられた式を次のように変形します。

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\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-3}{x})^x

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ここで、$t = -x/3$ と置くと、$x = -3t$ となり、$x \to \infty$ のとき、$t \to -\infty$ となります。したがって、

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\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-3}{x})^x = \lim_{t \to -\infty} (1 + \frac{1}{t})^{-3t} = \lim_{t \to -\infty} ((1 + \frac{1}{t})^t)^{-3}

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$e$ の定義より、$\lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e$ および $\lim_{t \to -\infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e$ が成り立ちます。よって、

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\lim_{t \to -\infty} ((1 + \frac{1}{t})^t)^{-3} = e^{-3}

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3. 最終的な答え

$e^{-3}$