O(0, 0), P(cos θ, sin θ), Q(-1, 0) が与えられている。P, Q を通る直線と y 軸との交点を R(0, t) とする。以下の問いに答える。 (1) ∠RQO を θ で表し、t を θ の関数として表す。 (2) Q, R を通る直線の方程式を t で表し、この直線と原点中心、半径 1 の円との交点を t で表す。また、cos θ, sin θ を t で表す。 (3) θ を t の関数とみたとき、$\frac{dθ}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ となることを示す。 (4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \sin θ + \cos θ} dθ$ を求める。

1. 問題の内容

O(0, 0), P(cos θ, sin θ), Q(-1, 0) が与えられている。P, Q を通る直線と y 軸との交点を R(0, t) とする。以下の問いに答える。

(1) ∠RQO を θ で表し、t を θ の関数として表す。

(2) Q, R を通る直線の方程式を t で表し、この直線と原点中心、半径 1 の円との交点を t で表す。また、cos θ, sin θ を t で表す。

(3) θ を t の関数とみたとき、$\frac{dθ}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ となることを示す。

(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \sin θ + \cos θ} dθ$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

∠RQO を求める。

点 Q(-1, 0), R(0, t) より、tan∠RQO = $\frac{OR}{OQ}$ = $\frac{t}{1}$ = t である。

したがって、∠RQO = arctan(t).

点 P, Q を通る直線と y 軸との交点が R である。

直線 PQ の傾きは $\frac{\sin θ - 0}{\cos θ - (-1)} = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}$

直線 PQ の方程式は $y - 0 = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}(x + 1)$

この直線が R(0, t) を通るので、 $t = \frac{\sin θ}{\cos θ + 1}$

ここで半角の公式より、

$\sin θ = 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}$

$\cos θ = \cos^2 \frac{θ}{2} - \sin^2 \frac{θ}{2}$

$\cos θ + 1 = 2 \cos^2 \frac{θ}{2}$

したがって、$t = \frac{2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}}{2 \cos^2 \frac{θ}{2}} = \tan \frac{θ}{2}$.

(2)

Q(-1, 0), R(0, t) を通る直線の方程式は、$\frac{x}{-1} + \frac{y}{t} = 1$ より、$y = tx + t$

この直線と、原点中心半径 1 の円 $x^2 + y^2 = 1$ の交点を求める。

$x^2 + (tx + t)^2 = 1$

$x^2 + t^2 x^2 + 2t^2 x + t^2 = 1$

$(1 + t^2) x^2 + 2t^2 x + t^2 - 1 = 0$

$x = \frac{-2t^2 \pm \sqrt{4t^4 - 4(1+t^2)(t^2 - 1)}}{2(1+t^2)} = \frac{-2t^2 \pm \sqrt{4t^4 - 4(t^4 - 1)}}{2(1 + t^2)} = \frac{-2t^2 \pm 2}{2(1 + t^2)} = \frac{-t^2 \pm 1}{1 + t^2}$

$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{-1 - t^2}{1 + t^2} = -1$

$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ のとき、$y = t \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + t = t \frac{1 - t^2 + 1 + t^2}{1 + t^2} = \frac{2t}{1 + t^2}$

よって交点は $(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2})$ である。

P(cos θ, sin θ) と比較して、$\cos θ = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $\sin θ = \frac{2t}{1 + t^2}$

(3)

$t = \tan \frac{θ}{2}$ より、$\frac{θ}{2} = \arctan t$

$θ = 2 \arctan t$

$\frac{dθ}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$

(4)

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \sin θ + \cos θ} dθ$

$t = \tan \frac{θ}{2}$ より、$dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{θ}{2} dθ$

$dθ = \frac{2}{1 + t^2} dt$

$θ: 0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t: 0 \to 1$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \sin θ + \cos θ} dθ = \int_0^1 \frac{1}{1 + \frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \frac{2}{1 + t^2} dt = \int_0^1 \frac{1}{\frac{1 + t^2 + 2t + 1 - t^2}{1 + t^2}} \frac{2}{1 + t^2} dt = \int_0^1 \frac{2}{2t + 2} dt = \int_0^1 \frac{1}{t + 1} dt = [\ln |t+1|]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) ∠RQO = arctan t, t = tan(θ/2)

(2) y = tx + t, 交点は $(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2})$, cos θ = $\frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, sin θ = $\frac{2t}{1 + t^2}$

(3) $\frac{dθ}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$

(4) $\ln 2$