2つの関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ と $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$ のグラフを選択する問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ と $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$ のグラフを選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数のうち、$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ について考えます。これは底が$\frac{1}{2}$である対数関数なので、単調減少なグラフになります。$x=1$ のとき $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$ となるため、$(1, 0)$ を通ります。

次に、$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$ について考えます。対数の性質より、

$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} = \log_{\frac{1}{2}} x^{-1} = - \log_{\frac{1}{2}} x$

さらに、底の変換公式を用いると、

$y = - \log_{\frac{1}{2}} x = - \frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}} = - \frac{\log_2 x}{-1} = \log_2 x$

つまり、$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} = \log_2 x$ となります。これは底が2である対数関数なので、単調増加なグラフになります。$x=1$ のとき $y = \log_2 1 = 0$ となるため、$(1, 0)$ を通ります。

したがって、$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は単調減少、$y = \log_2 x$ は単調増加なグラフとなります。

3. 最終的な答え

$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は単調減少関数、$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}$ は単調増加関数。