$log_7{\frac{1}{25}}$, $log_7{1}$, $0.1$ の3つの数を小さい順に並べ替える。

1. 問題の内容

$log_7{\frac{1}{25}}$, $log_7{1}$, $0.1$ の3つの数を小さい順に並べ替える。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を比較しやすい形に変換します。

* $log_7{\frac{1}{25}}$ について:

$\frac{1}{25}$ は1より小さいので、$log_7{\frac{1}{25}}$ は負の数になります。

* $log_7{1}$ について:

対数の性質より、$log_a{1} = 0$ なので、$log_7{1} = 0$ です。

* $0.1$ について:

$log_7{x} = 0.1$ となる $x$ を考えます。$7^{0.1} = x$ となります。

$7^{0.1}$ がどのくらいの数になるか考えますが、$7^0 = 1$ で $7^1 = 7$ より、$7^{0.1}$ は1より少し大きい数になります。

次に、$log_7{\frac{1}{25}}$ の値をより詳しく評価します。

$\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$ と変形できます。

また、$5 = \sqrt{25} = \sqrt{7 \times 3.57...}$ より、$5 \approx \sqrt{7} \times \sqrt{3.57...}$

したがって、$log_7{5}$ は正の数で、$log_7{5} > 0$

$log_7{5^2} = 2 log_7{5}$ でもあるため、$log_7{25}$ は正の数である。

$\frac{1}{25} < 1$ であるから、$log_7{\frac{1}{25}} < log_7{1} = 0$ となる。

$log_7{\frac{1}{25}} = log_7{(25)^{-1}} = -log_7{25}$ より、$log_7{\frac{1}{25}}$ は負の数であり、$log_7{25}$ は正の数である。

最終的に、３つの数の大小関係を判断します。

$log_7{\frac{1}{25}}$ は負の数、$log_7{1}=0$、$0.1$ は正の数です。

したがって、$log_7{\frac{1}{25}} < log_7{1} < 0.1$ となります。

3. 最終的な答え

$log_7{\frac{1}{25}}$, $log_7{1}$, $0.1$