以下の定積分を計算します。 $\int \frac{8x - 6}{2x^2 - 12x + 27} dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int \frac{8x - 6}{2x^2 - 12x + 27} dx$

2. 解き方の手順

分母の微分を考えると、$2x^2 - 12x + 27$ の微分は $4x - 12$ となります。分子の $8x - 6$ を、$a(4x - 12) + b$ の形に変形することを考えます。

$8x - 6 = a(4x - 12) + b$

$8x - 6 = 4ax - 12a + b$

係数を比較すると、

$4a = 8$ なので、$a = 2$

$-12a + b = -6$ なので、$-12(2) + b = -6$ つまり、 $-24 + b = -6$ なので、$b = 18$

したがって、

$8x - 6 = 2(4x - 12) + 18$

与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{8x - 6}{2x^2 - 12x + 27} dx = \int \frac{2(4x - 12) + 18}{2x^2 - 12x + 27} dx$

$= \int \frac{2(4x - 12)}{2x^2 - 12x + 27} dx + \int \frac{18}{2x^2 - 12x + 27} dx$

最初の積分は、$u = 2x^2 - 12x + 27$ と置換することで計算できます。$du = (4x - 12) dx$ となり、

$\int \frac{2(4x - 12)}{2x^2 - 12x + 27} dx = 2\int \frac{du}{u} = 2 \ln|u| + C_1 = 2 \ln|2x^2 - 12x + 27| + C_1$

次の積分は、$2x^2 - 12x + 27$ を平方完成することで計算できます。

$2x^2 - 12x + 27 = 2(x^2 - 6x) + 27 = 2(x^2 - 6x + 9) + 27 - 18 = 2(x - 3)^2 + 9$

したがって、

$\int \frac{18}{2x^2 - 12x + 27} dx = \int \frac{18}{2(x - 3)^2 + 9} dx = 9\int \frac{2}{2(x - 3)^2 + 9} dx = 9\int \frac{1}{(x - 3)^2 + (3/\sqrt{2})^2} dx$

ここで、$x - 3 = (3/\sqrt{2}) \tan \theta$ と置換すると、$dx = (3/\sqrt{2}) \sec^2 \theta d\theta$

$9\int \frac{1}{(x - 3)^2 + (3/\sqrt{2})^2} dx = 9\int \frac{1}{(9/2) \tan^2 \theta + (9/2)} \frac{3}{\sqrt{2}} \sec^2 \theta d\theta = 9 \frac{3}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 \theta}{(9/2)(\tan^2 \theta + 1)} d\theta$

$= 9 \frac{3}{\sqrt{2}} \frac{2}{9} \int d\theta = \frac{6}{\sqrt{2}} \theta + C_2 = \frac{6}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{x - 3}{3/\sqrt{2}} \right) + C_2 = 2 \sqrt{2} \cdot \arctan(\frac{\sqrt{2}}{3}(x - 3)) + C_2$

したがって、

$\int \frac{8x - 6}{2x^2 - 12x + 27} dx = 2 \ln|2x^2 - 12x + 27| + 2 \sqrt{2} \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{3}(x - 3)\right) + C$

3. 最終的な答え

$2 \ln|2x^2 - 12x + 27| + 2\sqrt{2} \arctan \left( \frac{\sqrt{2}(x-3)}{3} \right) + C$