関数 $y = x^4 e^{-2x}$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 e^{-2x}$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、ライプニッツの公式を適用する。ライプニッツの公式は、2つの関数の積の $n$ 階導関数を求めるための公式であり、次のように表される。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u = x^4$ と $v = e^{-2x}$ とおく。

$u$ の導関数を計算する。

$u' = 4x^3$

$u'' = 12x^2$

$u''' = 24x$

$u^{(4)} = 24$

$u^{(k)} = 0$ (for $k \ge 5$)

$v$ の導関数を計算する。

$v' = -2e^{-2x}$

$v'' = (-2)^2 e^{-2x}$

$v''' = (-2)^3 e^{-2x}$

一般的に、$v^{(k)} = (-2)^k e^{-2x}$ である。

したがって、ライプニッツの公式を適用すると、

$y^{(n)} = (x^4 e^{-2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^4)^{(n-k)} (e^{-2x})^{(k)}$

ここで、$n-k > 4$ のとき $(x^4)^{(n-k)} = 0$ であるから、実質的に $n-k \le 4$, すなわち $k \ge n-4$ の項だけを考えればよい。また、$k \le n$ なので、$n-4 \le k \le n$ である。

したがって、

$y^{(n)} = \sum_{k=max(0, n-4)}^{n} \binom{n}{k} (x^4)^{(n-k)} (-2)^k e^{-2x}$

具体的な項を計算する。

$k=n$ のとき: $\binom{n}{n} (x^4)^{(0)} (-2)^n e^{-2x} = \binom{n}{n} x^4 (-2)^n e^{-2x}$

$k=n-1$ のとき: $\binom{n}{n-1} (x^4)^{(1)} (-2)^{n-1} e^{-2x} = \binom{n}{n-1} 4x^3 (-2)^{n-1} e^{-2x} = n \cdot 4x^3 (-2)^{n-1} e^{-2x}$

$k=n-2$ のとき: $\binom{n}{n-2} (x^4)^{(2)} (-2)^{n-2} e^{-2x} = \binom{n}{n-2} 12x^2 (-2)^{n-2} e^{-2x} = \frac{n(n-1)}{2} 12x^2 (-2)^{n-2} e^{-2x}$

$k=n-3$ のとき: $\binom{n}{n-3} (x^4)^{(3)} (-2)^{n-3} e^{-2x} = \binom{n}{n-3} 24x (-2)^{n-3} e^{-2x} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 24x (-2)^{n-3} e^{-2x}$

$k=n-4$ のとき: $\binom{n}{n-4} (x^4)^{(4)} (-2)^{n-4} e^{-2x} = \binom{n}{n-4} 24 (-2)^{n-4} e^{-2x} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} 24 (-2)^{n-4} e^{-2x}$

$y^{(n)} = e^{-2x} \sum_{k=max(0, n-4)}^{n} \binom{n}{k} (x^4)^{(n-k)} (-2)^k$

整理すると、

$y^{(n)} = e^{-2x} [ (-2)^n x^4 + n \cdot 4x^3 (-2)^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} 12x^2 (-2)^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 24x (-2)^{n-3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} 24 (-2)^{n-4} ]$

$y^{(n)} = e^{-2x} (-2)^{n-4} [(-2)^4 x^4 + n \cdot 4x^3 (-2)^3 + \frac{n(n-1)}{2} 12x^2 (-2)^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 24x (-2)^1 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} 24 ]$

$y^{(n)} = e^{-2x} (-2)^{n-4} [16x^4 - 32 n x^3 + 24 n (n-1) x^2 - 8 n (n-1) (n-2) x + n (n-1) (n-2) (n-3) ]$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-2)^{n-4} e^{-2x} [16x^4 - 32nx^3 + 24n(n-1)x^2 - 8n(n-1)(n-2)x + n(n-1)(n-2)(n-3)]$

または

$y^{(n)} = e^{-2x}\sum_{k=max(0, n-4)}^{n} \binom{n}{k} (x^4)^{(n-k)} (-2)^k$