関数 $y = x^4e^{-2x}$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^4e^{-2x}$ の $n$ 階導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用して解く。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階微分を求める公式で、以下のように表される。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数である。

この問題では、$u(x) = x^4$、$v(x) = e^{-2x}$ とおく。

$u(x) = x^4$ の導関数を計算する。

$u'(x) = 4x^3$

$u''(x) = 12x^2$

$u'''(x) = 24x$

$u^{(4)}(x) = 24$

$u^{(k)}(x) = 0$ for $k \ge 5$

$v(x) = e^{-2x}$ の導関数を計算する。

$v'(x) = -2e^{-2x}$

$v''(x) = (-2)^2e^{-2x}$

$v'''(x) = (-2)^3e^{-2x}$

一般に、$v^{(k)}(x) = (-2)^k e^{-2x}$

ライプニッツの公式に当てはめる。

$y^{(n)} = (x^4e^{-2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^4)^{(n-k)} (e^{-2x})^{(k)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^4)^{(n-k)} (e^{-2x})^{(k)}$

$u^{(n-k)}$ が 0 でないのは $n-k \le 4$ のとき、つまり $k \ge n-4$ のときのみ。また、$k \le n$ より、実質的に $k = \max(0, n-4), ..., n$ で和をとれば良い。

したがって、

$y^{(n)} = \sum_{k=\max(0, n-4)}^{n} {}_n C_k (x^4)^{(n-k)} (-2)^k e^{-2x}$

$n \le 4$ のとき：

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^4)^{(n-k)} (-2)^k e^{-2x}$

$= {}_n C_0 (x^4)^{(n)} e^{-2x} + {}_n C_1 (x^4)^{(n-1)} (-2)^1 e^{-2x} + ... + {}_n C_n (x^4)^{(0)} (-2)^n e^{-2x}$

$= e^{-2x} \sum_{k=0}^n {}_n C_k (-2)^k (x^4)^{(n-k)}$

$n>4$の時、

$y^{(n)} = \sum_{k=n-4}^n {}_n C_k (x^4)^{(n-k)} (-2)^k e^{-2x}$

$=e^{-2x}\sum_{k=n-4}^n {}_n C_k (-2)^k (x^4)^{(n-k)}$

$= e^{-2x}\left[{}_n C_{n-4} (-2)^{n-4} (x^4)^{(4)} + {}_n C_{n-3} (-2)^{n-3} (x^4)^{(3)} + {}_n C_{n-2} (-2)^{n-2} (x^4)^{(2)} + {}_n C_{n-1} (-2)^{n-1} (x^4)^{(1)} + {}_n C_{n} (-2)^{n} (x^4)^{(0)}\right]$

$=e^{-2x}\left[{}_n C_{n-4} (-2)^{n-4} (24) + {}_n C_{n-3} (-2)^{n-3} (24x) + {}_n C_{n-2} (-2)^{n-2} (12x^2) + {}_n C_{n-1} (-2)^{n-1} (4x^3) + {}_n C_{n} (-2)^{n} (x^4)\right]$

$= e^{-2x} \left[{}_n C_4 (-2)^{n-4} 24 + {}_n C_3 (-2)^{n-3} 24x + {}_n C_2 (-2)^{n-2} 12x^2 + {}_n C_1 (-2)^{n-1} 4x^3 + (-2)^n x^4 \right]$

3. 最終的な答え

$n > 4$ のとき

$y^{(n)} = e^{-2x} \left[{}_n C_4 (-2)^{n-4} 24 + {}_n C_3 (-2)^{n-3} 24x + {}_n C_2 (-2)^{n-2} 12x^2 + {}_n C_1 (-2)^{n-1} 4x^3 + (-2)^n x^4 \right]$

$n \le 4$ のとき

$y^{(n)} = e^{-2x} \sum_{k=0}^n {}_n C_k (-2)^k (x^4)^{(n-k)}$