実数 $a$ に対して、定積分 $f(a) = \int_0^1 e^x |x-a| dx$ を考える。 (1) 定積分 $\int_0^1 e^x (x-a) dx$ を求めよ。 (2) $f(a)$ を求めよ。 (3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、定積分 $f(a) = \int_0^1 e^x |x-a| dx$ を考える。

(1) 定積分 $\int_0^1 e^x (x-a) dx$ を求めよ。

(2) $f(a)$ を求めよ。

(3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 e^x (x-a) dx$ を計算する。部分積分を用いる。

$\int e^x x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

$\int e^x a dx = ae^x + C$

よって、

$\int_0^1 e^x (x-a) dx = \int_0^1 xe^x dx - \int_0^1 ae^x dx = [xe^x - e^x]_0^1 - [ae^x]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) - (ae - a) = 1 - a(e-1)$

(2) $f(a) = \int_0^1 e^x |x-a| dx$ を計算する。

$a$ の値によって積分区間を分割する。

(i) $a \le 0$ のとき, $x-a \ge 0$ なので $|x-a| = x-a$.

$f(a) = \int_0^1 e^x (x-a) dx = 1 - a(e-1)$ (∵(1))

(ii) $0 < a < 1$ のとき,

$f(a) = \int_0^a e^x (a-x) dx + \int_a^1 e^x (x-a) dx$

$\int_0^a e^x (a-x) dx = \int_0^a ae^x dx - \int_0^a xe^x dx = [ae^x]_0^a - [xe^x - e^x]_0^a = ae^a - a - (ae^a - e^a - (0-1)) = ae^a - a - ae^a + e^a - 1 = e^a - a - 1$

$\int_a^1 e^x (x-a) dx = \int_a^1 xe^x dx - \int_a^1 ae^x dx = [xe^x - e^x]_a^1 - [ae^x]_a^1 = (e-e) - (ae^a - e^a) - (ae - ae^a) = -ae^a + e^a - ae + ae^a = e^a - ae$

$f(a) = e^a - a - 1 + e^a - ae = 2e^a - a - ae - 1 = 2e^a - a(1+e) - 1$

(iii) $a \ge 1$ のとき, $x-a \le 0$ なので $|x-a| = a-x$.

$f(a) = \int_0^1 e^x (a-x) dx = \int_0^1 ae^x dx - \int_0^1 xe^x dx = [ae^x]_0^1 - [xe^x - e^x]_0^1 = ae - a - (e - e - (0-1)) = a(e-1) - 1$

まとめると,

$f(a) = \begin{cases} 1 - a(e-1) & (a \le 0) \\ 2e^a - a(1+e) - 1 & (0 < a < 1) \\ a(e-1) - 1 & (a \ge 1) \end{cases}$

(3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求める。

(i) $a \le 0$ のとき, $f'(a) = -(e-1) < 0$. よって $f(a)$ は減少関数。

(ii) $0 < a < 1$ のとき, $f'(a) = 2e^a - (1+e)$. $f'(a) = 0$ となる $a$ を求めると,

$2e^a = 1+e$, $e^a = \frac{1+e}{2}$, $a = \log(\frac{1+e}{2})$.

$f''(a) = 2e^a > 0$ なので, $a = \log(\frac{1+e}{2})$ で $f(a)$ は極小値を取る。

ここで, $\frac{1+e}{2} < e$ より $\log(\frac{1+e}{2}) < 1$. また, $\frac{1+e}{2} > 1$ より $\log(\frac{1+e}{2}) > 0$.

よって $0 < \log(\frac{1+e}{2}) < 1$.

(iii) $a \ge 1$ のとき, $f'(a) = e-1 > 0$. よって $f(a)$ は増加関数。

$a=0$ のとき, $f(0) = 1$. $a=1$ のとき, $f(1) = e-2$.

$a = \log(\frac{1+e}{2})$ のとき, $f(a) = 2(\frac{1+e}{2}) - \log(\frac{1+e}{2})(1+e) - 1 = 1+e - (1+e)\log(\frac{1+e}{2}) - 1 = (1+e)(1-\log(\frac{1+e}{2}))$.

$e-2 \approx 0.718$, $(1+e)(1-\log(\frac{1+e}{2})) \approx (3.718)(1-\log(1.859)) \approx 3.718(1-0.621) \approx 3.718(0.379) \approx 1.41$

$f(0) = 1$.

$f'(a) = 2e^a - (1+e) = 0$ となる $a$ を求めれば良い。

$a = log((1+e)/2)$ のとき、$f(a) = 2(1+e)/2 - (1+e) log((1+e)/2) - 1 = e + 1 - (1+e) log((1+e)/2) - 1 = e - (1+e) log((1+e)/2)$.

$a = log((1+e)/2) \approx log(1.859) \approx 0.621$.

3. 最終的な答え

$a = \log(\frac{1+e}{2})$