与えられた積分 $\int \frac{2}{y(y-2)} dy$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{2}{y(y-2)} dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて、積分を計算しやすい形に変形します。

まず、被積分関数を次のように分解します。

$\frac{2}{y(y-2)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y-2}$

両辺に $y(y-2)$ をかけると、

$2 = A(y-2) + By$

$2 = Ay - 2A + By$

$2 = (A+B)y - 2A$

この式が任意の $y$ について成り立つためには、以下の連立方程式が成立する必要があります。

$A+B=0$

$-2A=2$

この連立方程式を解くと、

$A = -1$

$B = 1$

したがって、被積分関数は次のように分解できます。

$\frac{2}{y(y-2)} = -\frac{1}{y} + \frac{1}{y-2}$

与えられた積分は、

$\int \frac{2}{y(y-2)} dy = \int \left( -\frac{1}{y} + \frac{1}{y-2} \right) dy$

積分を計算すると、

$\int \left( -\frac{1}{y} + \frac{1}{y-2} \right) dy = -\int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{y-2} dy$

$\int \frac{1}{y} dy = \ln |y| + C_1$

$\int \frac{1}{y-2} dy = \ln |y-2| + C_2$

したがって、

$-\int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{y-2} dy = -\ln |y| + \ln |y-2| + C$

ここで、$C = C_2 - C_1$ は積分定数です。

対数の性質を利用すると、

$-\ln |y| + \ln |y-2| = \ln |y-2| - \ln |y| = \ln \left| \frac{y-2}{y} \right|$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \frac{y-2}{y} \right| + C$