(1) 関数 $F(x) = \int_1^x (x-t) \log t \, dt$ を $x$ について微分する。 (2) 等式 $f(x) = \frac{1}{x} + \int_1^3 tf(t) \, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。 (3) 曲線 $x^2 - xy - y^2 = 1$ の点 $(1, -1)$ における微分係数の値を求める。

はい、承知いたしました。3つの問題について、順番に解答します。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_1^x (x-t) \log t \, dt$ を $x$ について微分する。

(2) 等式 $f(x) = \frac{1}{x} + \int_1^3 tf(t) \, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

(3) 曲線 $x^2 - xy - y^2 = 1$ の点 $(1, -1)$ における微分係数の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$F(x) = \int_1^x (x-t) \log t \, dt = x \int_1^x \log t \, dt - \int_1^x t \log t \, dt$

$F'(x) = \int_1^x \log t \, dt + x \log x - x \log x = \int_1^x \log t \, dt$

部分積分を用いて$\int_1^x \log t \, dt$を計算します。

$\int_1^x \log t \, dt = [t \log t]_1^x - \int_1^x 1 \, dt = x \log x - 0 - (x-1) = x \log x - x + 1$

したがって、

$F'(x) = x \log x - x + 1$

(2)

$f(x) = \frac{1}{x} + \int_1^3 tf(t) \, dt$

$C = \int_1^3 tf(t) \, dt$とおくと、$f(x) = \frac{1}{x} + C$となる。

この式を積分に代入すると、

$C = \int_1^3 t(\frac{1}{t} + C) \, dt = \int_1^3 (1 + Ct) \, dt = [t + \frac{1}{2}Ct^2]_1^3 = (3 + \frac{9}{2}C) - (1 + \frac{1}{2}C) = 2 + 4C$

よって、 $C = 2 + 4C$ より、 $-3C = 2$ なので $C = -\frac{2}{3}$

したがって、 $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{3}$

(3)

$x^2 - xy - y^2 = 1$

両辺を $x$ について微分する。

$2x - (y + x \frac{dy}{dx}) - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2x - y - x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$(x + 2y) \frac{dy}{dx} = 2x - y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$

点 $(1, -1)$ における微分係数は、

$\frac{dy}{dx}|_{(1, -1)} = \frac{2(1) - (-1)}{1 + 2(-1)} = \frac{2 + 1}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$

3. 最終的な答え

(1) $F'(x) = x \log x - x + 1$

(2) $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{3}$

(3) $-3$