点 $(-1, -3)$ から曲線 $y = x^2$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(-1, -3)$ から曲線 $y = x^2$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 接点の座標を $(t, t^2)$ とおく。

* $y = x^2$ を微分すると、 $y' = 2x$ となる。

したがって、点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。

* 点 $(t, t^2)$ における接線の方程式は、

$y - t^2 = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2$

$y = 2tx - t^2$

* この接線が点 $(-1, -3)$ を通るので、

$-3 = 2t(-1) - t^2$

$-3 = -2t - t^2$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

$(t + 3)(t - 1) = 0$

$t = -3, 1$

* $t = -3$ のとき、接点の座標は $(-3, 9)$ であり、接線の傾きは $2(-3) = -6$ である。

よって、接線の方程式は、

$y = -6x - (-3)^2$

$y = -6x - 9$

* $t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 1)$ であり、接線の傾きは $2(1) = 2$ である。

よって、接線の方程式は、

$y = 2x - 1^2$

$y = 2x - 1$

3. 最終的な答え

$y = -6x - 9$

$y = 2x - 1$