広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ が、$\alpha < 1$ のとき $\frac{1}{1-\alpha}$ に収束し、$\alpha \geq 1$ のとき発散することを示す。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ が、$\alpha < 1$ のとき $\frac{1}{1-\alpha}$ に収束し、$\alpha \geq 1$ のとき発散することを示す。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算する。$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int \frac{1}{x^\alpha} dx = \int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C$

次に、広義積分を計算する。

$\alpha < 1$ のとき:

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} x^{-\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right)$

$\alpha < 1$ なので、$1-\alpha > 0$ である。したがって、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = 0$ となる。

よって、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \frac{1}{1-\alpha}$

$\alpha = 1$ のとき:

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} [\ln x]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to +0} (\ln 1 - \ln \epsilon) = \lim_{\epsilon \to +0} (0 - \ln \epsilon) = - \lim_{\epsilon \to +0} \ln \epsilon = \infty$

$\alpha > 1$ のとき:

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} x^{-\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{\epsilon}^{1} = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right)$

$\alpha > 1$ なので、$1-\alpha < 0$ である。したがって、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = \lim_{\epsilon \to +0} \frac{1}{\epsilon^{\alpha - 1}} = \infty$ となる。

よって、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \infty$

まとめると、$\alpha < 1$ のとき $\frac{1}{1-\alpha}$ に収束し、$\alpha \geq 1$ のとき発散する。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha} & (\alpha < 1) \\ \infty & (\alpha \geq 1) \end{cases}$