与えられた3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -0} \frac{x}{|x|}$ (2) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$ (3) $\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -0} \frac{x}{|x|}$

(2) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$

(3) $\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -0} \frac{x}{|x|}$

$x$ が $-0$ に近づくとき、$x$ は負の値を取ります。

したがって、$|x| = -x$ となります。

よって、

$\lim_{x \to -0} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to -0} \frac{x}{-x} = \lim_{x \to -0} (-1) = -1$

(2) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$

$x$ が $1+0$ に近づくとき、$x$ は1より少し大きい値を取ります。

したがって、$x^2 - 1$ は $0$ に近づき、正の値を取ります。

よって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \infty$

(3) $\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$

$x$ が $-1+0$ に近づくとき、$x$ は $-1$ より少し大きい値を取ります。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ と因数分解できます。

$x$ が $-1$ より少し大きい値を取るので、$x+1$ は正の数で0に近づきます。

$x-1$ は $-2$ に近づきます。

したがって、$x^2-1$ は負の数で0に近づきます。

よって、

$\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -0} \frac{x}{|x|} = -1$

(2) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x^2 - 1} = \infty$

(3) $\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1} = -\infty$