与えられた4つの関数について、$x$ が正の無限大 ($x \to \infty$) および負の無限大 ($x \to -\infty$) に近づくときの極限値を求める問題です。 関数は以下の通りです。 (1) $\frac{1-x}{1+x}$ (2) $\frac{1}{x^2-1}$ (3) $\frac{2|x|+1}{3x-2}$ (4) $x^3-10x^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、$x$ が正の無限大 ($x \to \infty$) および負の無限大 ($x \to -\infty$) に近づくときの極限値を求める問題です。

関数は以下の通りです。

(1) $\frac{1-x}{1+x}$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$

(3) $\frac{2|x|+1}{3x-2}$

(4) $x^3-10x^2$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1-x}{1+x}$ について

$x \to \infty$ のとき:

分子と分母を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1-x}{1+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$$

$x \to -\infty$ のとき:

分子と分母を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1-x}{1+x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$ について

$x \to \infty$ のとき:

$x^2-1$ は無限大に発散するので、$\frac{1}{x^2-1}$ は0に近づきます。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2-1} = 0$$

$x \to -\infty$ のとき:

$x^2-1$ は無限大に発散するので、$\frac{1}{x^2-1}$ は0に近づきます。

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2-1} = 0$$

(3) $\frac{2|x|+1}{3x-2}$ について

$x \to \infty$ のとき:

$x>0$ なので、$|x|=x$ です。

分子と分母を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{3x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}} = \frac{2+0}{3-0} = \frac{2}{3}$$

$x \to -\infty$ のとき:

$x<0$ なので、$|x|=-x$ です。

分子と分母を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x+1}{3x-2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}} = \frac{-2+0}{3-0} = -\frac{2}{3}$$

(4) $x^3-10x^2$ について

$x \to \infty$ のとき:

$x^3$ の項が支配的になるため、正の無限大に発散します。

$$\lim_{x \to \infty} (x^3-10x^2) = \lim_{x \to \infty} x^3(1-\frac{10}{x}) = \infty$$

$x \to -\infty$ のとき:

$x^3$ の項が支配的になるため、負の無限大に発散します。

$$\lim_{x \to -\infty} (x^3-10x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1-\frac{10}{x}) = -\infty$$

3. 最終的な答え

(1)

$x \to \infty$ のとき、-1

$x \to -\infty$ のとき、-1

(2)

$x \to \infty$ のとき、0

$x \to -\infty$ のとき、0

(3)

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{3}$

$x \to -\infty$ のとき、$-\frac{2}{3}$

(4)

$x \to \infty$ のとき、$\infty$

$x \to -\infty$ のとき、$-\infty$