$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$ および $e^{-x}$ をそれぞれマクローリン展開（テイラー展開）します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$

これらの展開式から、$e^x - e^{-x}$ を計算します。

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...) = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + ...$

したがって、$e^x - e^{-x} = 2x + O(x^3)$ となります。

ここで、$O(x^3)$ は $x^3$ のオーダー以上の項を表します。

次に、$\frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を計算します。

$\frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \frac{(2x + \frac{2x^3}{3!} + ...)^2}{x^2} = \frac{(2x)^2 + 2(2x)(\frac{2x^3}{3!}) + ...}{x^2} = \frac{4x^2 + \frac{8x^4}{3!} + ...}{x^2} = 4 + \frac{8x^2}{3!} + ...$

最後に、$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} (4 + \frac{8x^2}{3!} + ...) = 4$

別の解き方として、ロピタルの定理を使う方法があります。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{x}$

この式も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再びロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{1} = \lim_{x \to 0} ((e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2) = (1 + 1)^2 + (1 - 1)^2 = 2^2 + 0 = 4$

3. 最終的な答え

4