導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分する。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

与えられた関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ について、まず $f(x + h)$ を計算します。

$f(x + h) = (2(x + h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x + h) - f(x)$ を計算します。

$f(x + h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

ここで、$A = 2x - 1$ と $B = 2h$ とおくと、$2x + 2h - 1 = A + B$ と書けます。

すると、$f(x + h) - f(x) = (A + B)^3 - A^3$ となり、$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ を用いて展開すると、

$f(x + h) - f(x) = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 - A^3 = 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

ここで、$A = 2x - 1$ と $B = 2h$ を代入すると、

$f(x + h) - f(x) = 3(2x - 1)^2(2h) + 3(2x - 1)(2h)^2 + (2h)^3 = 6h(2x - 1)^2 + 12h^2(2x - 1) + 8h^3$

次に、$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6h(2x - 1)^2 + 12h^2(2x - 1) + 8h^3}{h} = 6(2x - 1)^2 + 12h(2x - 1) + 8h^2$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} [6(2x - 1)^2 + 12h(2x - 1) + 8h^2] = 6(2x - 1)^2 + 12(0)(2x - 1) + 8(0)^2 = 6(2x - 1)^2$

したがって、$f'(x) = 6(2x - 1)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x - 1)^2$