$\int (\sin(x))^{-1} dx$ を計算する問題です。つまり、$\int \frac{1}{\sin(x)} dx = \int \csc(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int (\sin(x))^{-1} dx$ を計算する問題です。つまり、$\int \frac{1}{\sin(x)} dx = \int \csc(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \csc(x) dx$ は、いくつかの方法で計算できます。ここでは、$\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ に $\frac{\sin(x)}{\sin(x)}$ をかけて変形し、置換積分を用いる方法で解きます。

$\int \csc(x) dx = \int \frac{1}{\sin(x)} dx = \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)} dx = \int \frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)} dx$

ここで、$u = \cos(x)$ と置くと、$du = -\sin(x) dx$ なので、$\sin(x) dx = -du$ となります。

$\int \frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)} dx = \int \frac{-du}{1 - u^2} = - \int \frac{1}{1 - u^2} du$

$\frac{1}{1 - u^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u}$

$1 = A(1 + u) + B(1 - u)$

$1 = A + Au + B - Bu$

$1 = (A + B) + (A - B)u$

したがって、$A + B = 1$ かつ $A - B = 0$ より、$A = B = \frac{1}{2}$ となります。

$- \int \frac{1}{1 - u^2} du = - \int \left( \frac{1/2}{1 - u} + \frac{1/2}{1 + u} \right) du = - \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right) du$

$= - \frac{1}{2} (-\ln|1 - u| + \ln|1 + u|) + C = \frac{1}{2} \ln|1 - u| - \frac{1}{2} \ln|1 + u| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - u}{1 + u} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \right| + C$

ここで、半角の公式を用いると、

$\tan^2(\frac{x}{2}) = \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}$

となるため、

$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \right| = \frac{1}{2} \ln \left| \tan^2(\frac{x}{2}) \right| = \ln \left| \tan(\frac{x}{2}) \right|$

したがって、

$\int \csc(x) dx = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C$