$\lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の対数を取ります。

$y = (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ とすると、

$\ln y = \ln (1-3x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln(1-3x)$

次に、$x \to 0$ のとき、$\ln y$ の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-3x)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3}{1-3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{1-3x} = \frac{-3}{1-0} = -3$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = -3$

ここで、$y = e^{\ln y}$ なので、

$\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} e^{\ln y} = e^{\lim_{x \to 0} \ln y} = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$