関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ の $x=1$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ の $x=1$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$a=1$ なので、$f'(1)$ を計算します。

まず、$f(1)$ を求めます。

$f(1) = \sqrt{2(1) + 1} = \sqrt{3}$

次に、$f(1+h)$ を求めます。

$f(1+h) = \sqrt{2(1+h) + 1} = \sqrt{2+2h+1} = \sqrt{2h+3}$

微分係数の定義に当てはめます。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2h+3} - \sqrt{3}}{h}$

この極限を求めるために、分子を有理化します。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2h+3} - \sqrt{3}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2h+3} - \sqrt{3})(\sqrt{2h+3} + \sqrt{3})}{h(\sqrt{2h+3} + \sqrt{3})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(2h+3) - 3}{h(\sqrt{2h+3} + \sqrt{3})} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{2h+3} + \sqrt{3})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2h+3} + \sqrt{3}}$

$h \to 0$ のとき、$\sqrt{2h+3} \to \sqrt{3}$ となるので、

$f'(1) = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

有理化すると

$f'(1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{3}$