$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、自然対数 $e$ の定義式 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ を利用できるように、与えられた式を変形します。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ において、$-\frac{2}{x} = \frac{1}{n}$ とおくと、$x = -2n$ となります。

$x \to \infty$ のとき、$n \to -\infty$ です。

したがって、与えられた式は、

$\lim_{n \to -\infty} (1 + \frac{1}{n})^{-2n}$

と書き換えられます。

指数の $-2n$ を外に出すと、

$\lim_{n \to -\infty} \{(1 + \frac{1}{n})^n\}^{-2}$

ここで、$\lim_{n \to -\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ であることを利用します。

よって、

$\lim_{n \to -\infty} \{(1 + \frac{1}{n})^n\}^{-2} = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$e^{-2}$