関数 $f(x) = a\cos x - \sin^2 x$ が与えられている。ここで、$a$ は実数の定数である。 (1) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を $a$ の値によって場合分けして表す。 (2) $m(a)$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = a\cos x - \sin^2 x$ が与えられている。ここで、$a$ は実数の定数である。

(1) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を $a$ の値によって場合分けして表す。

(2) $m(a)$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = a\cos x - \sin^2 x$ を変形する。$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、

$f(x) = a\cos x - (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + a\cos x - 1$ となる。

$t = \cos x$ とおくと、$-1 \leq t \leq 1$ であり、

$f(x) = g(t) = t^2 + at - 1$ となる。

$g(t) = (t + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - 1$

軸 $t = -\frac{a}{2}$ の位置で場合分けする。

(i) $-\frac{a}{2} < -1$ つまり $a > 2$ のとき、$g(t)$ は単調増加なので、最小値は $g(-1)$ であり、

$m(a) = g(-1) = (-1)^2 + a(-1) - 1 = 1 - a - 1 = -a$.

(ii) $-1 \leq -\frac{a}{2} \leq 1$ つまり $-2 \leq a \leq 2$ のとき、最小値は $g(-\frac{a}{2})$ であり、

$m(a) = g(-\frac{a}{2}) = (-\frac{a}{2})^2 + a(-\frac{a}{2}) - 1 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} - 1 = -\frac{a^2}{4} - 1$.

(iii) $-\frac{a}{2} > 1$ つまり $a < -2$ のとき、$g(t)$ は単調減少なので、最小値は $g(1)$ であり、

$m(a) = g(1) = (1)^2 + a(1) - 1 = 1 + a - 1 = a$.

したがって、$f(x)$ の最小値 $m(a)$ は、

$m(a) = \begin{cases}

-a & (a > 2) \\

-\frac{a^2}{4} - 1 & (-2 \leq a \leq 2) \\

a & (a < -2)

\end{cases}$

(2) $m(a)$ の最大値を求める。

(i) $a > 2$ のとき、$m(a) = -a < -2$.

(ii) $-2 \leq a \leq 2$ のとき、$m(a) = -\frac{a^2}{4} - 1$. これは上に凸の放物線で、頂点は $(0, -1)$ なので、最大値は $-1$.

(iii) $a < -2$ のとき、$m(a) = a < -2$.

したがって、$m(a)$ の最大値は $-1$.

3. 最終的な答え

(1) $m(a) = \begin{cases}

-a & (a > 2) \\

-\frac{a^2}{4} - 1 & (-2 \leq a \leq 2) \\

a & (a < -2)

\end{cases}$

(2) $-1$