以下の6つの関数のラプラス変換を求めます。 (1) $3t^2 - 2t$ (2) $(t^2 - 1)^2$ (3) $e^{-3t} + 2e^{2t}$ (4) $\sin 5t$ (5) $\cosh \sqrt{5} t$ (6) $e^{3t} \sin 2t$

1. 問題の内容

以下の6つの関数のラプラス変換を求めます。

(1) $3t^2 - 2t$

(2) $(t^2 - 1)^2$

(3) $e^{-3t} + 2e^{2t}$

(4) $\sin 5t$

(5) $\cosh \sqrt{5} t$

(6) $e^{3t} \sin 2t$

2. 解き方の手順

ラプラス変換の公式と線形性、移動定理を利用して計算します。

(1) $3t^2 - 2t$

まず、$t^n$ のラプラス変換の公式 $\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$ を用います。

$\mathcal{L}\{3t^2\} = 3 \cdot \frac{2!}{s^{2+1}} = \frac{6}{s^3}$

$\mathcal{L}\{2t\} = 2 \cdot \frac{1!}{s^{1+1}} = \frac{2}{s^2}$

よって、$\mathcal{L}\{3t^2 - 2t\} = \frac{6}{s^3} - \frac{2}{s^2}$

(2) $(t^2 - 1)^2 = t^4 - 2t^2 + 1$

$\mathcal{L}\{t^4\} = \frac{4!}{s^5} = \frac{24}{s^5}$

$\mathcal{L}\{2t^2\} = 2 \cdot \frac{2!}{s^3} = \frac{4}{s^3}$

$\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$

よって、$\mathcal{L}\{(t^2 - 1)^2\} = \frac{24}{s^5} - \frac{4}{s^3} + \frac{1}{s}$

(3) $e^{-3t} + 2e^{2t}$

$e^{at}$ のラプラス変換の公式 $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ を用います。

$\mathcal{L}\{e^{-3t}\} = \frac{1}{s-(-3)} = \frac{1}{s+3}$

$\mathcal{L}\{2e^{2t}\} = 2 \cdot \frac{1}{s-2} = \frac{2}{s-2}$

よって、$\mathcal{L}\{e^{-3t} + 2e^{2t}\} = \frac{1}{s+3} + \frac{2}{s-2}$

(4) $\sin 5t$

$\sin at$ のラプラス変換の公式 $\mathcal{L}\{\sin at\} = \frac{a}{s^2+a^2}$ を用います。

$\mathcal{L}\{\sin 5t\} = \frac{5}{s^2 + 5^2} = \frac{5}{s^2 + 25}$

(5) $\cosh \sqrt{5} t$

$\cosh at$ のラプラス変換の公式 $\mathcal{L}\{\cosh at\} = \frac{s}{s^2 - a^2}$ を用います。

$\mathcal{L}\{\cosh \sqrt{5} t\} = \frac{s}{s^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{s}{s^2 - 5}$

(6) $e^{3t} \sin 2t$

$\sin at$ のラプラス変換の公式 $\mathcal{L}\{\sin at\} = \frac{a}{s^2+a^2}$ と移動定理 $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$ を用います。

まず、$\mathcal{L}\{\sin 2t\} = \frac{2}{s^2+2^2} = \frac{2}{s^2+4}$

次に、移動定理より $\mathcal{L}\{e^{3t} \sin 2t\} = \frac{2}{(s-3)^2 + 4}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathcal{L}\{3t^2 - 2t\} = \frac{6}{s^3} - \frac{2}{s^2}$

(2) $\mathcal{L}\{(t^2 - 1)^2\} = \frac{24}{s^5} - \frac{4}{s^3} + \frac{1}{s}$

(3) $\mathcal{L}\{e^{-3t} + 2e^{2t}\} = \frac{1}{s+3} + \frac{2}{s-2}$

(4) $\mathcal{L}\{\sin 5t\} = \frac{5}{s^2 + 25}$

(5) $\mathcal{L}\{\cosh \sqrt{5} t\} = \frac{s}{s^2 - 5}$

(6) $\mathcal{L}\{e^{3t} \sin 2t\} = \frac{2}{(s-3)^2 + 4}$