$\frac{x-18}{4-x^2} = \frac{x-18}{(2-x)(2+x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{2+x}$ 両辺に $(2-x)(2+x)$ をかけると、 $x - 18 = A(2+x) + B(2-x) = (A-B)x + 2A + 2B$ 係数を比較すると、 $A - B = 1$ $2A + 2B = -18$ これを解くと、$A = -4, B = -5$ したがって、 $\frac{x-18}{4-x^2} = \frac{-4}{2-x} + \frac{-5}{2+x} = \frac{4}{x-2} - \frac{5}{x+2}$

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1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算する。

* 2.(1) 不定積分: $\int \frac{x-18}{4-x^2} dx$

* 2.(2) 不定積分: $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$

* 3.(1) 定積分: $\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx$

* 3.(2) 定積分: $\int_{1}^{\infty} \log(1+\frac{1}{x^2}) dx$

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2. 解き方の手順

### 2.(1) 不定積分: $\int \frac{x-18}{4-x^2} dx$

1. 被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{x-18}{4-x^2} = \frac{x-18}{(2-x)(2+x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{2+x}$

両辺に $(2-x)(2+x)$ をかけると、

$x - 18 = A(2+x) + B(2-x) = (A-B)x + 2A + 2B$

係数を比較すると、

$A - B = 1$

$2A + 2B = -18$

これを解くと、$A = -4, B = -5$

したがって、

$\frac{x-18}{4-x^2} = \frac{-4}{2-x} + \frac{-5}{2+x} = \frac{4}{x-2} - \frac{5}{x+2}$

2. 積分を計算する。

$\int \frac{x-18}{4-x^2} dx = \int \left(\frac{4}{x-2} - \frac{5}{x+2}\right) dx = 4\int \frac{1}{x-2} dx - 5\int \frac{1}{x+2} dx = 4\log|x-2| - 5\log|x+2| + C$

### 2.(2) 不定積分: $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$

1. 半角の公式を使う。

$\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$

したがって、

$1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$

2. 積分を計算する。

$\int \frac{1}{1+\cos x} dx = \int \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2\tan \frac{x}{2} + C = \tan \frac{x}{2} + C$

### 3.(1) 定積分: $\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx$

1. $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を使う。

$\sin^6 x = (\sin^2 x)^3 = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^3 = \frac{1}{8}(1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x)$

2. $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ を使う。

$\cos^3 2x = \cos 2x(1 - \sin^2 2x) = \cos 2x - \cos 2x \sin^2 2x$

$\sin^6 x = \frac{1}{8}(1 - 3\cos 2x + 3(\frac{1 + \cos 4x}{2}) - \cos 2x + \cos 2x \sin^2 2x) = \frac{1}{8}(\frac{5}{2} - 4\cos 2x + \frac{3}{2}\cos 4x + \cos 2x \sin^2 2x)$

3. 積分を計算する。

$\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{2\pi} (\frac{5}{2} - 4\cos 2x + \frac{3}{2}\cos 4x + \cos 2x \sin^2 2x) dx$

$\int_{0}^{2\pi} \cos 2x dx = 0$, $\int_{0}^{2\pi} \cos 4x dx = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \cos 2x \sin^2 2x dx = [\frac{1}{6}\sin^3 2x]_{0}^{2\pi} = 0$

したがって、$\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{2\pi} \frac{5}{2} dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{5}{2} \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{8}$

### 3.(2) 定積分: $\int_{1}^{\infty} \log(1+\frac{1}{x^2}) dx$

1. 部分積分を用いる。$u = \log(1+\frac{1}{x^2})$, $dv = dx$ とする。

すると $du = \frac{-2/x^3}{1+1/x^2}dx = \frac{-2}{x(x^2+1)} dx$, $v=x$

$\int_{1}^{\infty} \log(1+\frac{1}{x^2}) dx = \left[x\log(1+\frac{1}{x^2})\right]_1^{\infty} - \int_1^{\infty} x\frac{-2}{x(x^2+1)} dx = \left[x\log(1+\frac{1}{x^2})\right]_1^{\infty} + 2\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$

2. $x\log(1+\frac{1}{x^2})$ の極限を計算する。

$\lim_{x \to \infty} x\log(1+\frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

$\left[x\log(1+\frac{1}{x^2})\right]_1^{\infty} = 0 - 1 \cdot \log(1+1) = -\log 2$

3. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$ を計算する。

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_1^{\infty} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

4. したがって、

$\int_{1}^{\infty} \log(1+\frac{1}{x^2}) dx = -\log 2 + 2\cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \log 2$

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3. 最終的な答え

* 2.(1) $4\log|x-2| - 5\log|x+2| + C$

* 2.(2) $\tan \frac{x}{2} + C$

* 3.(1) $\frac{5\pi}{8}$

* 3.(2) $\frac{\pi}{2} - \log 2$