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## 解答

解析学微分合成関数の微分商の微分積の微分三角関数逆三角関数
2025/7/29
## 解答
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1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。今回は、(1) y=log⁡(log⁡x)y = \log(\log x)、(2) y=log⁡∣tan⁡(x2)∣y = \log|\tan(\frac{x}{2})|、(3) y=ecos⁡2xy = e^{\cos 2x}、(4) y=ex−e−xex+e−xy = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}、(5) y=sin⁡2xcos⁡3xy = \sin^2 x \cos^3 x、(6) y=e2xcos⁡3xy = e^{2x}\cos 3x、(7) y=sin⁡x1+cos⁡xy = \frac{\sin x}{1 + \cos x}、(8) y=sin⁡x−cos⁡xsin⁡x+cos⁡xy = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}、(9) y=sin⁡−1(cos⁡x)y = \sin^{-1}(\cos x) (ただし、0<x<π0 < x < \pi)、(10) y=tan⁡−1x−12−xy = \tan^{-1}\sqrt{\frac{x - 1}{2 - x}} を解きます。
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2. 解き方の手順

**(1) y=log⁡(log⁡x)y = \log(\log x)**
* 合成関数の微分法を用います。u=log⁡xu = \log xとおくと、y=log⁡uy = \log uです。
* dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
* dydu=1u\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}、dudx=1x\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}
* dydx=1u⋅1x=1log⁡x⋅1x=1xlog⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}
**(2) y=log⁡∣tan⁡(x2)∣y = \log|\tan(\frac{x}{2})|**
* u=tan⁡(x2)u = \tan(\frac{x}{2})とおくと、y=log⁡∣u∣y = \log|u|。
* dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
* dydu=1u\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}
* dudx=1cos⁡2(x2)⋅12=12cos⁡2(x2)\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}
* dydx=1tan⁡(x2)⋅12cos⁡2(x2)=cos⁡(x2)sin⁡(x2)⋅12cos⁡2(x2)=12sin⁡(x2)cos⁡(x2)=1sin⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})} = \frac{1}{\sin x}
**(3) y=ecos⁡2xy = e^{\cos 2x}**
* u=cos⁡2xu = \cos 2xとおくと、y=euy = e^u。
* dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
* dydu=eu\frac{dy}{du} = e^u
* dudx=−sin⁡(2x)⋅2=−2sin⁡(2x)\frac{du}{dx} = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)
* dydx=ecos⁡2x⋅(−2sin⁡2x)=−2sin⁡(2x)ecos⁡2x\frac{dy}{dx} = e^{\cos 2x} \cdot (-2\sin 2x) = -2\sin(2x)e^{\cos 2x}
**(4) y=ex−e−xex+e−xy = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}**
* 商の微分法を用います。y=uvy = \frac{u}{v}のとき、dydx=u′v−uv′v2\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}。
* u=ex−e−xu = e^x - e^{-x}、v=ex+e−xv = e^x + e^{-x}とおくと、u′=ex+e−xu' = e^x + e^{-x}、v′=ex−e−xv' = e^x - e^{-x}。
* dydx=(ex+e−x)(ex+e−x)−(ex−e−x)(ex−e−x)(ex+e−x)2=(e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)(ex+e−x)2=4(ex+e−x)2\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}
**(5) y=sin⁡2xcos⁡3xy = \sin^2 x \cos^3 x**
* 積の微分法を用います。y=uvy = uvのとき、dydx=u′v+uv′\frac{dy}{dx} = u'v + uv'。
* u=sin⁡2xu = \sin^2 x、v=cos⁡3xv = \cos^3 xとおくと、u′=2sin⁡xcos⁡xu' = 2\sin x \cos x、v′=3cos⁡2x(−sin⁡x)=−3sin⁡xcos⁡2xv' = 3\cos^2 x (-\sin x) = -3\sin x \cos^2 x。
* dydx=(2sin⁡xcos⁡x)(cos⁡3x)+(sin⁡2x)(−3sin⁡xcos⁡2x)=2sin⁡xcos⁡4x−3sin⁡3xcos⁡2x=sin⁡xcos⁡2x(2cos⁡2x−3sin⁡2x)\frac{dy}{dx} = (2\sin x \cos x)(\cos^3 x) + (\sin^2 x)(-3\sin x \cos^2 x) = 2\sin x \cos^4 x - 3\sin^3 x \cos^2 x = \sin x \cos^2 x(2\cos^2 x - 3\sin^2 x)
**(6) y=e2xcos⁡3xy = e^{2x}\cos 3x**
* 積の微分法を用います。
* dydx=(e2x)′cos⁡3x+e2x(cos⁡3x)′=2e2xcos⁡3x−3e2xsin⁡3x=e2x(2cos⁡3x−3sin⁡3x)\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' \cos 3x + e^{2x}(\cos 3x)' = 2e^{2x}\cos 3x - 3e^{2x}\sin 3x = e^{2x}(2\cos 3x - 3\sin 3x)
**(7) y=sin⁡x1+cos⁡xy = \frac{\sin x}{1 + \cos x}**
* 商の微分法を用います。
* dydx=(sin⁡x)′(1+cos⁡x)−(sin⁡x)(1+cos⁡x)′(1+cos⁡x)2=cos⁡x(1+cos⁡x)−(sin⁡x)(−sin⁡x)(1+cos⁡x)2=cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(1+cos⁡x)2=cos⁡x+1(1+cos⁡x)2=11+cos⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{(\sin x)'(1 + \cos x) - (\sin x)(1 + \cos x)'}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x(1 + \cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}
**(8) y=sin⁡x−cos⁡xsin⁡x+cos⁡xy = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}**
* 商の微分法を用います。
* dydx=(sin⁡x−cos⁡x)′(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)′(sin⁡x+cos⁡x)2=(cos⁡x+sin⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)2=(sin⁡x+cos⁡x)2+(sin⁡x−cos⁡x)2(sin⁡x+cos⁡x)2=(sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)+(sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)(sin⁡x+cos⁡x)2=2(sin⁡2x+cos⁡2x)(sin⁡x+cos⁡x)2=2(sin⁡x+cos⁡x)2\frac{dy}{dx} = \frac{(\sin x - \cos x)'(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)'}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}
**(9) y=sin⁡−1(cos⁡x)y = \sin^{-1}(\cos x) (ただし、0<x<π0 < x < \pi)**
* cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)であるから、y=sin⁡−1(sin⁡(π2−x))y = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x))。
* 0<x<π0 < x < \piより、−π2<π2−x<π2 -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - x < \frac{\pi}{2}。
* したがって、y=π2−xy = \frac{\pi}{2} - x。
* dydx=−1\frac{dy}{dx} = -1
**(10) y=tan⁡−1x−12−xy = \tan^{-1}\sqrt{\frac{x - 1}{2 - x}}**
* u=x−12−xu = \sqrt{\frac{x - 1}{2 - x}}とおくと、y=tan⁡−1uy = \tan^{-1} u。
* dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
* dydu=11+u2=11+x−12−x=2−x2−x+x−1=2−x\frac{dy}{du} = \frac{1}{1 + u^2} = \frac{1}{1 + \frac{x - 1}{2 - x}} = \frac{2 - x}{2 - x + x - 1} = 2 - x
* u=x−12−x=(x−12−x)12u = \sqrt{\frac{x - 1}{2 - x}} = (\frac{x - 1}{2 - x})^{\frac{1}{2}}なので、dudx=12(x−12−x)−12⋅(x−1)′(2−x)−(x−1)(2−x)′(2−x)2=122−xx−1⋅(1)(2−x)−(x−1)(−1)(2−x)2=122−xx−1⋅2−x+x−1(2−x)2=122−xx−1⋅1(2−x)2=12(x−1)(2−x)3\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(\frac{x - 1}{2 - x})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{(x - 1)'(2 - x) - (x - 1)(2 - x)'}{(2 - x)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2 - x}{x - 1}} \cdot \frac{(1)(2 - x) - (x - 1)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2 - x}{x - 1}} \cdot \frac{2 - x + x - 1}{(2 - x)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2 - x}{x - 1}} \cdot \frac{1}{(2 - x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{(x - 1)(2 - x)^3}}
* dydx=(2−x)⋅12(x−1)(2−x)3=2−x2(x−1)(2−x)3=2−x2(2−x)(x−1)(2−x)=12(x−1)(2−x)\frac{dy}{dx} = (2 - x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x - 1)(2 - x)^3}} = \frac{2 - x}{2\sqrt{(x - 1)(2 - x)^3}} = \frac{2 - x}{2(2 - x)\sqrt{(x - 1)(2 - x)}} = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}
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3. 最終的な答え

(1) dydx=1xlog⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x}
(2) dydx=1sin⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x}
(3) dydx=−2sin⁡(2x)ecos⁡2x\frac{dy}{dx} = -2\sin(2x)e^{\cos 2x}
(4) dydx=4(ex+e−x)2\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}
(5) dydx=sin⁡xcos⁡2x(2cos⁡2x−3sin⁡2x)\frac{dy}{dx} = \sin x \cos^2 x(2\cos^2 x - 3\sin^2 x)
(6) dydx=e2x(2cos⁡3x−3sin⁡3x)\frac{dy}{dx} = e^{2x}(2\cos 3x - 3\sin 3x)
(7) dydx=11+cos⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \cos x}
(8) dydx=2(sin⁡x+cos⁡x)2\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}
(9) dydx=−1\frac{dy}{dx} = -1
(10) dydx=12(x−1)(2−x)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}

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