関数 $y = (x - 1)(x^2 + 1)(2x - 1)$ を微分して、$dy/dx$を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x - 1)(x^2 + 1)(2x - 1)$ を微分して、$dy/dx$を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使って微分します。

まず、$u = (x - 1)$、$v = (x^2 + 1)$、$w = (2x - 1)$ とおくと、$y = uvw$ となります。

積の微分公式は次の通りです。

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

それぞれの微分を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d(x - 1)}{dx} = 1$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d(x^2 + 1)}{dx} = 2x$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d(2x - 1)}{dx} = 2$

これらの結果を積の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = (1)(x^2 + 1)(2x - 1) + (x - 1)(2x)(2x - 1) + (x - 1)(x^2 + 1)(2)$

これを展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = (2x^3 - x^2 + 2x - 1) + (x - 1)(4x^2 - 2x) + 2(x^3 - x^2 + x - 1)$

$\frac{dy}{dx} = (2x^3 - x^2 + 2x - 1) + (4x^3 - 2x^2 - 4x^2 + 2x) + (2x^3 - 2x^2 + 2x - 2)$

$\frac{dy}{dx} = 2x^3 - x^2 + 2x - 1 + 4x^3 - 6x^2 + 2x + 2x^3 - 2x^2 + 2x - 2$

$\frac{dy}{dx} = (2x^3 + 4x^3 + 2x^3) + (-x^2 - 6x^2 - 2x^2) + (2x + 2x + 2x) + (-1 - 2)$

$\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$