1から9までの異なる3つの数字 $a, b, c$ （$a>b>c$）を選び、3桁の整数を作る。最も大きい数を$A$、最も小さい数を$B$とする。$A-B$を$a, b, c$で表すとどうなるか、また、$A-B=396$となるような3つの数字の選び方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

1から9までの異なる3つの数字 $a, b, c$ （$a>b>c$）を選び、3桁の整数を作る。最も大きい数を$A$、最も小さい数を$B$とする。$A-B$を$a, b, c$で表すとどうなるか、また、$A-B=396$となるような3つの数字の選び方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$と$B$を$a, b, c$で表す。$A$は3つの数字を大きい順に並べたものなので、$A=100a+10b+c$である。同様に、$B$は小さい順に並べたものなので、$B=100c+10b+a$である。したがって、

$A-B=(100a+10b+c) - (100c+10b+a) = 99a - 99c = 99(a-c)$

次に、$A-B=396$となるような$a, c$の組み合わせを求める。

$99(a-c) = 396$より、$a-c = 4$となる。

$a$と$c$は1から9までの整数であり、$a>c$を満たす必要がある。また、$a-c=4$であるから、

$(a, c) = (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5)$の5通りの組み合わせがある。

$a, c$が決まれば、真ん中の数字$b$は、$c < b < a$を満たす必要がある。

- $(a, c) = (5, 1)$のとき、$1 < b < 5$より、$b=2, 3, 4$の3通り。

- $(a, c) = (6, 2)$のとき、$2 < b < 6$より、$b=3, 4, 5$の3通り。

- $(a, c) = (7, 3)$のとき、$3 < b < 7$より、$b=4, 5, 6$の3通り。

- $(a, c) = (8, 4)$のとき、$4 < b < 8$より、$b=5, 6, 7$の3通り。

- $(a, c) = (9, 5)$のとき、$5 < b < 9$より、$b=6, 7, 8$の3通り。

したがって、全部で$5 \times 3 = 15$通りの選び方がある。

3. 最終的な答え

I: $99(a-c)$

II: $15$