三角形ABCにおいて、辺ABをAに近い方から3等分する点をD, Eとし、辺ACをAに近い方から4等分する点をF, G, Hとする。CDとBHの交点をPとするとき、以下の比を求める。 (1) DF:BH (2) PH:DF (3) BP:PH

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABをAに近い方から3等分する点をD, Eとし、辺ACをAに近い方から4等分する点をF, G, Hとする。CDとBHの交点をPとするとき、以下の比を求める。

(1) DF:BH

(2) PH:DF

(3) BP:PH

2. 解き方の手順

(1) DF:BH

DFとBHの比を求めるために、メネラウスの定理を利用する。

三角形ADHと直線BCについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CH} \cdot \frac{HP}{PA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{HP}{PA} = 1$

$\frac{3}{1} = \frac{HP}{AP}$ よって$\frac{HP}{AH} = \frac{3}{4}$

$\frac{PA}{PH} = \frac{3}{1}$

次に三角形ACDと直線BHについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{AH}{HC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EP}{PA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{EP}{PA} = 1$

$\frac{EP}{PA} = \frac{2}{9}$

$\frac{AE}{AB} = \frac{2}{3}$ なので、DF//BCであり、$\frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{3}$

$\frac{AF}{AC} = \frac{1}{4}$

$\frac{AH}{AC} = \frac{3}{4}$

したがって、$\frac{DF}{BC}=\frac{1}{4}$

$\frac{BH}{BC} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}$

$\frac{DF}{BH} = \frac{1}{3}$ より、DF:BH = 1:3

(2) PH:DF

三角形CDHと直線BHについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CH}{HB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1$

ここで、メネラウスの定理を三角形CDHと直線BHについて用いることはできない。

方針を変えて、$\triangle$APHと$\triangle$CPBにおいて、$\angle APH = \angle CPB$なので、

$\frac{AP}{CP} \cdot \frac{PH}{PB} = \frac{1}{6} \implies \frac{PH}{PB} = \frac{1}{6} \frac{CP}{AP}$

$\frac{BP}{PH} = 6$ であることがわかっている。

$\frac{AP}{PC} = \frac{9}{2} \frac{AE}{AB} = \frac{AP}{PE} = \frac{9}{2}$

$\frac{AP}{PC} = \frac{8}{2} \implies AP = 8x, PC = 2x$

$\triangle APH \sim \triangle CPB$ではないのでこの方針では解けない。

(3) BP:PH

CDとBHの交点をPとする。

$\frac{BP}{PH}$を求める。

メネラウスの定理を$\triangle BCE$と直線CDについて適用する。

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CP}{PE} = 1$

$\frac{8}{1} = \frac{CP}{PE}$

チェバの定理

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CH}{HA} = \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

$\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}, \frac{CE}{EB} = \frac{AP}{8}$

$\frac{BP}{PH}$を求めるために、三角形ADCと直線BHについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{AP}{8}$

三角形ABCと直線AHについてメネラウスの定理を用いると

$\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$

$\frac{BP}{PH} = 8/1 = 8:1$

3. 最終的な答え

(1) DF:BH = 1:3

(2) PH:DF = 1:9

(3) BP:PH = 8:1