(1) 中心が $(7, -1)$ で、円 $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 16 = 0$ と接する円の方程式を求める。 (2) 2円 $C_1: x^2 + y^2 = r^2$ ($r > 0$), $C_2: x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0$ が共有点をもつとき、定数 $r$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 中心が $(7, -1)$ で、円 $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 16 = 0$ と接する円の方程式を求める。

(2) 2円 $C_1: x^2 + y^2 = r^2$ ($r > 0$), $C_2: x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0$ が共有点をもつとき、定数 $r$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた円 $x^2 + y^2 + 10x - 8y + 16 = 0$ の中心と半径を求める。

平方完成すると、$(x+5)^2 + (y-4)^2 = 25+16-16 = 25$ となる。

よって、中心は $(-5, 4)$, 半径は $5$ である。

求める円の中心は $(7, -1)$ である。

2つの円が接するためには、中心間の距離が半径の和または差に等しい。

中心間の距離 $d$ は、 $d = \sqrt{(7-(-5))^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$。

求める円の半径を $R$ とすると、接する場合、

$R + 5 = 13$ または $|R - 5| = 13$ が成り立つ。

$R + 5 = 13$ より $R = 8$。

$|R - 5| = 13$ より $R - 5 = 13$ または $R - 5 = -13$。

$R - 5 = 13$ より $R = 18$。

$R - 5 = -13$ より $R = -8$ となるが、$R > 0$ より不適。

したがって、$R = 8$ または $R = 18$。

求める円の方程式は、$(x-7)^2 + (y+1)^2 = 8^2$ または $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 18^2$。

つまり、$(x-7)^2 + (y+1)^2 = 64$ または $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 324$。

(2)

$C_1: x^2 + y^2 = r^2$ は、中心 $(0, 0)$, 半径 $r$ の円。

$C_2: x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0$ を平方完成すると、$(x-3)^2 + (y+4)^2 = 9 + 16 - 16 = 9$。

よって、中心は $(3, -4)$, 半径は $3$ である。

2つの円が共有点を持つための条件は、中心間の距離が半径の和と差の間にあること。

中心間の距離 $d$ は、 $d = \sqrt{(3-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。

$|r - 3| \le 5 \le r + 3$ が成り立つ必要がある。

$|r - 3| \le 5$ より $-5 \le r - 3 \le 5$。

$-2 \le r \le 8$。

$5 \le r + 3$ より $r \ge 2$。

$r > 0$ より、$2 \le r \le 8$。

3. 最終的な答え

(1) $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 64$ または $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 324$

(2) $2 \le r \le 8$