直角三角形ABCがあり、AB=8cm, BC=12cmです。点PはAを出発してAB上を毎秒2cmでBに向かい、点QはCを出発してBC上を毎秒1cmでBに向かいます。点P, Qが同時に出発したとき、四角形ACQPの面積が39cm²になるのは、出発してから何秒後かを求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB=8cm, BC=12cmです。点PはAを出発してAB上を毎秒2cmでBに向かい、点QはCを出発してBC上を毎秒1cmでBに向かいます。点P, Qが同時に出発したとき、四角形ACQPの面積が39cm²になるのは、出発してから何秒後かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積を計算します。

$三角形ABCの面積 = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 = 48 cm^2$

次に、出発してからx秒後のAPとCQの長さを求めます。

AP = 2x cm

CQ = x cm

x秒後のPBの長さ、QBの長さを求めます。

PB = 8 - 2x cm

QB = 12 - x cm

x秒後の三角形PBQの面積を求めます。

$三角形PBQの面積 = \frac{1}{2} \times PB \times QB = \frac{1}{2} \times (8-2x) \times (12-x) = \frac{1}{2} \times (96 - 8x - 24x + 2x^2) = x^2 - 16x + 48$

四角形ACQPの面積は、三角形ABCの面積から三角形PBQの面積を引いたものです。

$四角形ACQPの面積 = 三角形ABCの面積 - 三角形PBQの面積$

$39 = 48 - (x^2 - 16x + 48)$

$39 = 48 - x^2 + 16x - 48$

$39 = -x^2 + 16x$

$x^2 - 16x + 39 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(x - 3)(x - 13) = 0$

$x = 3, 13$

PはBに着くまでしか動けないため、移動時間の上限は 8/2=4秒です。

QはBに着くまでしか動けないため、移動時間の上限は12/1=12秒です。

したがって、$x=3$は条件を満たしますが、$x=13$は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

3秒後