辺の長さが3cm, 4cm, 5cmの直角三角形がある。直径2cmの円を、三角形の外側の辺に沿って転がす。 (1) 円の中心が通った長さを求める。 (2) 円の通った部分の面積を求める。

1. 問題の内容

辺の長さが3cm, 4cm, 5cmの直角三角形がある。直径2cmの円を、三角形の外側の辺に沿って転がす。

(1) 円の中心が通った長さを求める。

(2) 円の通った部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心が通った長さは、三角形の辺の長さの合計に等しい。なぜなら、円の中心は三角形の辺に沿って移動するからである。

三角形の辺の長さの合計を計算する。

$3 + 4 + 5 = 12$

(2) 円の通った部分の面積は、3つの長方形と3つの扇形からなる。

3つの長方形の面積は、円の直径（2cm）と三角形の各辺の長さの積で計算される。

それぞれの長方形の面積は、$2 \times 3 = 6$ cm$^2$, $2 \times 4 = 8$ cm$^2$, $2 \times 5 = 10$ cm$^2$である。

3つの長方形の面積の合計は、$6 + 8 + 10 = 24$ cm$^2$となる。

3つの扇形の中心角の合計は、三角形の外角の和に等しく、360度である。

したがって、3つの扇形の合計は円1つ分の面積に等しい。

円の半径は直径の半分なので、$2 / 2 = 1$ cm。

円の面積は $\pi r^2$ で計算されるので、$\pi \times 1^2 = \pi$ cm$^2$となる。

円の通った部分の総面積は、長方形の面積の合計と扇形の面積の合計を足して計算できる。

総面積 = $24 + \pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) 円の中心が通った長さ: 12cm

(2) 円の通った部分の面積: $24 + \pi$ cm$^2$