台形ABCDにおいて、AD // BC, AD = 4cm, BC = 7cm, CD = 6cm, AE : EB = 2 : 1。Eを通りBCに平行な直線とCDの交点をF、Aを通りCDに平行な直線とEF, BCの交点をそれぞれG, Hとする。このとき、DF, CH, EG, EFの長さを求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD // BC, AD = 4cm, BC = 7cm, CD = 6cm, AE : EB = 2 : 1。Eを通りBCに平行な直線とCDの交点をF、Aを通りCDに平行な直線とEF, BCの交点をそれぞれG, Hとする。このとき、DF, CH, EG, EFの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) DFの長さを求める。

三角形ABEと三角形FCEに着目する。

AE : EB = 2 : 1 より、AB = AE + EB なので、AE : AB = 2 : 3 である。

EF // BC より、三角形AEFと三角形ABCは相似である。

したがって、AF : AC = AE : AB = 2 : 3。

AF = x とおくと、FC = AC - AF。

DC // AH より、AF : FC = DH : HC。

DC = 6 より、CD = 6cm なので、CD // AH であることから四角形AHCDは平行四辺形である。

よって、AH = DC = 6cm。

AD // HC より、DH = AD = 4cm なので、HC = BC - BH = 7cm - 4cm = 3cm。

$DF = DC - FC$ より、$DF = DC - \frac{3}{5}DC = \frac{2}{5}DC = \frac{2}{5} \times 6 = \frac{12}{5}$

DF = 2.4cm

(2) CHの長さを求める。

AHCDは平行四辺形なので、AH = DC = 6cm。

DH = AD = 4cm。

HC = BC - BH = 7cm - 4cm = 3cm。

(3) EGの長さを求める。

EGはEFの一部である。

EF // BC であり、AE : EB = 2 : 1なので、AE : AB = 2 : 3。

EG : BH = AE : AB = 2 : 3。

BH = AD = 4cm。

$EG = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$ cm。

(4) EFの長さを求める。

EF // BC なので、EF : BC = AE : AB = 2 : 3。

$EF = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{14}{3}$ cm。

3. 最終的な答え

(1) DF = 2.4 cm

(2) CH = 3 cm

(3) EG = 8/3 cm

(4) EF = 14/3 cm