一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺AB上に点PをAP:PB=2:1となるように、辺BC上に点QをBQ:QC=2:1となるように、辺CD上に点RをCR:RD=1:1となるようにとる。 P,Q,Rを通る平面がADと交わる点をSとする。 また、PQとACの交点をTとする。 このとき、以下の値を求めよ。 (1) CT (2) AS

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、辺AB上に点PをAP:PB=2:1となるように、辺BC上に点QをBQ:QC=2:1となるように、辺CD上に点RをCR:RD=1:1となるようにとる。

P,Q,Rを通る平面がADと交わる点をSとする。

また、PQとACの交点をTとする。

このとき、以下の値を求めよ。

(1) CT

(2) AS

2. 解き方の手順

(1) CTについて

点TはPQとACの交点なので、メネラウスの定理を用いる。

三角形ABCにおいて、直線PQについてメネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CT}{TA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{CT}{TA} = 1$

$\frac{CT}{TA} = \frac{1}{4}$

$TA = 4CT$

$AC = AT + TC = 4CT + CT = 5CT$

よって、$CT = \frac{1}{5}AC$

ACは一辺の長さが6の正四面体の一辺なので、AC = 6

したがって、$CT = \frac{6}{5}$

(2) ASについて

点Sは平面PQRとADの交点である。

ADを平面ABCと平面ACDに分けて考える。

P,Q,Rを通る平面とADとの交点Sを求める。

PQとACの交点をTとしたので、RTとADの交点がSになる。

三角形ACDにおいて、直線RTについてメネラウスの定理より、

$\frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} \cdot \frac{AT}{TC} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{DS}{SA} \cdot \frac{4}{1} = 1$

$\frac{DS}{SA} = \frac{1}{4}$

$SA = 4DS$

$AD = AS + SD = AS + \frac{1}{4}AS = \frac{5}{4}AS$

よって、$AS = \frac{4}{5}AD$

ADは一辺の長さが6の正四面体の一辺なので、AD = 6

したがって、$AS = \frac{24}{5}$

3. 最終的な答え

(1) CT = $\frac{6}{5}$

(2) AS = $\frac{24}{5}$