図は、半径6cm、中心角120度の扇形が、直線に沿って回転していく様子を示しています。扇形が一周して元の位置に戻るまでの、点Oの軌跡の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

図は、半径6cm、中心角120度の扇形が、直線に沿って回転していく様子を示しています。扇形が一周して元の位置に戻るまでの、点Oの軌跡の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、扇形が最初に回転するとき、点Oは半径6cm、中心角120度の弧を描きます。

この弧の長さは、円周の $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ です。

したがって、最初の弧の長さは、

$2 \pi \times 6 \times \frac{1}{3} = 4 \pi$ (cm)

次に、扇形が２回目に回転するとき、点Oは直線に沿って進むため、その軌跡は直線になります。その距離は、扇形の弧の長さと等しくなります。弧の長さは

$2 \pi \times 6 \times \frac{120}{360} = 4\pi$ (cm)

最後に、扇形が3回目に回転するとき、点Oは半径6cm、中心角120度の弧を描きます。

最初の回転と同じように、この弧の長さは $4 \pi$ cmです。

したがって、点Oの軌跡の全長は、

$4 \pi + 4 \pi + 4 \pi = 12 \pi$ (cm)

3. 最終的な答え

点Oの軌跡の長さは $12 \pi$ cm です。