(1) 円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ と直線 $x + y - k = 0$ の位置関係を、定数 $k$ の値によって分類する。 (2) 円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 10$ と直線 $y = 3x - 3k$ の位置関係を、定数 $k$ の値によって分類する。

1. 問題の内容

(1) 円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ と直線 $x + y - k = 0$ の位置関係を、定数 $k$ の値によって分類する。

(2) 円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 10$ と直線 $y = 3x - 3k$ の位置関係を、定数 $k$ の値によって分類する。

2. 解き方の手順

円と直線の位置関係は、円の中心と直線の距離 $d$ と円の半径 $r$ の大小関係によって決まる。

$d < r$ のとき、円と直線は2点で交わる。

$d = r$ のとき、円と直線は接する。

$d > r$ のとき、円と直線は交わらない。

(1) 円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ の中心は $(1, 1)$、半径は $r = \sqrt{2}$ である。

直線 $x + y - k = 0$ と中心 $(1, 1)$ との距離 $d$ は、

$d = \frac{|1 + 1 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - k|}{\sqrt{2}}$

$d < r$ のとき、$\frac{|2 - k|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2}$ より $|2 - k| < 2$

$-2 < 2 - k < 2$ より $-4 < -k < 0$ よって $0 < k < 4$

$d = r$ のとき、$\frac{|2 - k|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ より $|2 - k| = 2$

$2 - k = 2$ または $2 - k = -2$ より $k = 0$ または $k = 4$

$d > r$ のとき、$\frac{|2 - k|}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}$ より $|2 - k| > 2$

$2 - k > 2$ または $2 - k < -2$ より $-k > 0$ または $-k < -4$ よって $k < 0$ または $k > 4$

(2) 円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 10$ の中心は $(2, -1)$、半径は $r = \sqrt{10}$ である。

直線 $y = 3x - 3k$ は、$3x - y - 3k = 0$ と変形できる。

直線 $3x - y - 3k = 0$ と中心 $(2, -1)$ との距離 $d$ は、

$d = \frac{|3(2) - (-1) - 3k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|7 - 3k|}{\sqrt{10}}$

$d < r$ のとき、$\frac{|7 - 3k|}{\sqrt{10}} < \sqrt{10}$ より $|7 - 3k| < 10$

$-10 < 7 - 3k < 10$ より $-17 < -3k < 3$ よって $-1 < k < \frac{17}{3}$

$d = r$ のとき、$\frac{|7 - 3k|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ より $|7 - 3k| = 10$

$7 - 3k = 10$ または $7 - 3k = -10$ より $-3k = 3$ または $-3k = -17$ よって $k = -1$ または $k = \frac{17}{3}$

$d > r$ のとき、$\frac{|7 - 3k|}{\sqrt{10}} > \sqrt{10}$ より $|7 - 3k| > 10$

$7 - 3k > 10$ または $7 - 3k < -10$ より $-3k > 3$ または $-3k < -17$ よって $k < -1$ または $k > \frac{17}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$0 < k < 4$ のとき、2点で交わる。

$k = 0, 4$ のとき、接する。

$k < 0, k > 4$ のとき、交わらない。

(2)

$-1 < k < \frac{17}{3}$ のとき、2点で交わる。

$k = -1, \frac{17}{3}$ のとき、接する。

$k < -1, k > \frac{17}{3}$ のとき、交わらない。