対角線の長さが6cmの正方形を、頂点Oを中心に30度回転させたとき、影の部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

対角線の長さが6cmの正方形を、頂点Oを中心に30度回転させたとき、影の部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 正方形の一辺の長さを求める。正方形の対角線が6cmなので、一辺の長さを$a$とすると、三平方の定理より$a^2 + a^2 = 6^2$。

* $2a^2 = 36$

* $a^2 = 18$

* $a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ cm

* 正方形の面積を求める。正方形の面積は、$a^2$で求められるので、面積は18 $cm^2$。

* 影の部分の面積は、正方形が30度回転したときにできる扇形の面積である。扇形の半径は正方形の一辺の長さである$3\sqrt{2}$ cm。扇形の中心角は30度。

* 扇形の面積を求める。扇形の面積は、$\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$で求められる。ここで、$r$は半径、$\theta$は中心角である。

* 扇形の面積 = $\pi (3\sqrt{2})^2 \times \frac{30}{360} = \pi (18) \times \frac{1}{12} = \frac{3}{2}\pi$

しかし、問題文から$\pi$を使うかどうか不明なので、問題文にある図形の面積を直接計算する。

* 影の部分は、正方形の一辺を半径とする扇形なので、扇形の面積は $\pi r^2 \times \frac{30}{360}$

正方形の面積は$a^2=18$

扇形の面積の式に代入すると

$18 \times \pi \times \frac{30}{360} = 18 \pi \times \frac{1}{12} = \frac{3}{2}\pi$

ここで$\pi$を3とすると

$\frac{3}{2}\times 3 = \frac{9}{2} = 4.5$

ここで、図形問題なので、扇形の面積から三角形の面積を引くことを考える。

扇形の面積$=\pi r^2 \frac{30}{360}$

ここで$r=3\sqrt{2}$なので扇形の面積=$\pi (3\sqrt{2})^2 \frac{1}{12} = \frac{3}{2}\pi$

一方、重なっている三角形の面積は$\frac{1}{2}ab sin\theta$で求められるので

$\frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} \times sin(30) = \frac{1}{2} \times 18 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}=4.5$

図から考えるに、正方形の面積は18なので、影の部分の面積は正方形の面積よりも小さい。

したがって、扇形の面積から三角形の面積を引くというアプローチは正しくない。

正方形を30度回転させた時、影の部分は、扇形に似ているが、厳密には扇形ではない。

影の部分の面積は、正方形が回転した際に通過する領域の面積と考えることができる。

この領域は、正方形の一辺を半径とする扇形から、正方形と回転後の正方形が重なる部分の面積を引いたものと考えることができる。

この重なる部分は、正方形から、正方形と回転後の正方形に挟まれた三角形を引いたものと考えられる。

正方形の一辺の長さは、$3\sqrt{2}$ cmなので、影の部分の面積は

$\pi (3\sqrt{2})^2 \times \frac{30}{360} = 18\pi \times \frac{1}{12} = \frac{3}{2}\pi cm^2$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}\pi$ $cm^2$

$\pi$を3で近似すると4.5 $cm^2$