与えられた円錐の展開図（扇形OABと底面の円O'）に基づいて、以下の値を求める問題です。 (1) 扇形OABの弧ABの長さ (2) 扇形OABの面積 (3) 円錐の底面の円O'の半径 (4) 円錐の高さ

1. 問題の内容

与えられた円錐の展開図（扇形OABと底面の円O'）に基づいて、以下の値を求める問題です。

(1) 扇形OABの弧ABの長さ

(2) 扇形OABの面積

(3) 円錐の底面の円O'の半径

(4) 円錐の高さ

2. 解き方の手順

(1) 扇形OABの弧ABの長さ：

扇形の弧の長さは、円周の割合で計算できます。扇形の中心角は120度で、半径は9cmです。

円周は $2 \pi r = 2 \pi (9) = 18 \pi$ cm。

弧ABの長さは、円周の $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ 倍なので、

$\frac{1}{3} \times 18 \pi = 6 \pi$ cm。

(2) 扇形OABの面積：

扇形の面積は、円の面積の割合で計算できます。扇形の中心角は120度で、半径は9cmです。

円の面積は $\pi r^2 = \pi (9)^2 = 81 \pi$ 平方cm。

扇形OABの面積は、円の面積の $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ 倍なので、

$\frac{1}{3} \times 81 \pi = 27 \pi$ 平方cm。

(3) 円錐の底面の円O'の半径：

円錐の底面の円周は、扇形OABの弧ABの長さに等しいです。

円周の長さは $6 \pi$ cmなので、$2 \pi r = 6 \pi$ を満たすrが底面の半径です。

$2 \pi r = 6 \pi$ より、$r = \frac{6 \pi}{2 \pi} = 3$ cm。

(4) 円錐の高さ：

円錐の高さは、円錐の頂点から底面の中心までの距離です。

底面の半径をr、母線の長さをLとすると、円錐の高さhはピタゴラスの定理を用いて計算できます。

$h = \sqrt{L^2 - r^2}$

母線の長さは9cm、底面の半径は3cmなので、

$h = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ cm。

3. 最終的な答え

(1) 弧ABの長さ: $6 \pi$ cm

(2) 扇形OABの面積: $27 \pi$ 平方cm

(3) 底面の円O'の半径: 3 cm

(4) 円錐の高さ: $6 \sqrt{2}$ cm