円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle AEC = 28^\circ$, $\angle EAD = 12^\circ$, $\angle ECD = 10^\circ$のとき、$\angle ABC$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle AEC = 28^\circ$, $\angle EAD = 12^\circ$, $\angle ECD = 10^\circ$のとき、$\angle ABC$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理を利用します。

$\angle CAD = \angle ECD = 10^\circ$です。

次に、$\angle CAE$を求めます。

$\angle CAE = \angle EAD + \angle CAD = 12^\circ + 10^\circ = 22^\circ$

次に、$\triangle ACE$において、内角の和は$180^\circ$であるから、

$\angle ACE = 180^\circ - (\angle AEC + \angle CAE) = 180^\circ - (28^\circ + 22^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

$\angle BCD = \angle ACE - \angle ECD = 130^\circ - 10^\circ = 120^\circ$

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は$180^\circ$です。

よって、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

また、$\angle ADC = \angle ADE + \angle EDC$

$\angle ADE = \angle CAE = 22^\circ$（円周角の定理より）

$\angle EDC = \angle EAC = 22^\circ$

$\angle DAC = \angle DEC$

$\angle CAD= \angle CBD = 10^\circ$

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$より、

$\angle ADC = \angle EDA + \angle EDC$なので、

$\angle ADC= \angle EAC + \angle ECD= 22^\circ$

$\angle ADE = \angle CAE = 22^{\circ}$

$\angle ADC= 28^\circ + \angle ECD + \angle DAC = 28^\circ$

よって $\angle ABC = 180^\circ - (\angle EAD + \angle DAC + \angle AED) = 180^\circ - (12^\circ + 10^\circ + 28^\circ) = 130^{\circ}$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$です。

$\angle ADC = \angle ADE - \angle CDE$, $\angle ECD = 10^\circ$

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$より,

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\angle ADC = \angle ADE = \angle CAE = 22^{\circ}$, since angles subtended by the same arc are equal.

$\angle ACB = \angle ADB$

$\angle AEB=130$

したがって, $\angle ABC + \angle ADC= 180^{\circ}$, then

$\angle ABC + 28 + \angle CDB =180^{\circ}$

$\angle BAC=\angle BDC$

$\angle EAD = \angle DBC =12^{\circ}$

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

$\angle ABD = \angle ACD$, then $\angle ACD= \angle ACE- \angle ECD$, $\angle ACE=22$

$\angle ACE = 180 - 28 - angle EAC$

$\angle AED=\angle ACB$ and $\angle CAD= ECD$. Therefore $\angle ACB =180- \angle ABC$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 130^\circ$