放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上に点A, B, Cがある。Aのx座標は-4, Bのx座標は-2, Cのx座標は8である。点Bを通り、三角形ABCの面積を二等分する直線を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上に点A, B, Cがある。Aのx座標は-4, Bのx座標は-2, Cのx座標は8である。点Bを通り、三角形ABCの面積を二等分する直線を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点A, B, Cの座標を求める。

- 点Aの座標は、x=-4を $y = \frac{1}{4}x^2$ に代入して $y = \frac{1}{4}(-4)^2 = 4$。よって、A(-4, 4)。

- 点Bの座標は、x=-2を $y = \frac{1}{4}x^2$ に代入して $y = \frac{1}{4}(-2)^2 = 1$。よって、B(-2, 1)。

- 点Cの座標は、x=8を $y = \frac{1}{4}x^2$ に代入して $y = \frac{1}{4}(8)^2 = 16$。よって、C(8, 16)。

三角形ABCの面積を二等分する直線は、点Bを通り、線分ACの中点を通る。線分ACの中点Mの座標を求める。

- Mのx座標は、$\frac{-4+8}{2} = 2$。

- Mのy座標は、$\frac{4+16}{2} = 10$。

よって、M(2, 10)。

点B(-2, 1)と点M(2, 10)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

- 点Bを通るので、 $1 = -2a + b$。

- 点Mを通るので、 $10 = 2a + b$。

この2つの式を連立方程式として解く。

$10 = 2a + b$

$1 = -2a + b$

辺々足すと、

$11 = 2b$

$b = \frac{11}{2}$

$1 = -2a + \frac{11}{2}$

$2a = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$

$a = \frac{9}{4}$

よって、求める直線の式は $y = \frac{9}{4}x + \frac{11}{2}$。

3. 最終的な答え

$y = \frac{9}{4}x + \frac{11}{2}$