長方形ABCDの中に、点Oを中心とする半円と、点Pを中心とする円が内接している。AB = 8cm, AD = 18cmであるとき、点Pを中心とする円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDの中に、点Oを中心とする半円と、点Pを中心とする円が内接している。AB = 8cm, AD = 18cmであるとき、点Pを中心とする円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Oを中心とする半円の半径は、ABの長さと同じで8cmです。

点PからBCに垂線を下ろし、交点をEとします。また、点PからADに垂線を下ろし、交点をFとします。点Pを中心とする円の半径を$r$とすると、PE = PF = $r$となります。

長方形ABCDにおいて、AD = 18cm, AB = 8cmなので、BC = AD = 18cm, CD = AB = 8cmです。

また、OはBCの中点なので、OB = OC = BC/2 = 18/2 = 9cmです。

PからOCに垂線を下ろした交点をEとすると、OE = OC - EC = OC - $r$ = 9 - $r$となります。

また、OP = 8 + $r$です。

三角形OEPは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$OE^2 + PE^2 = OP^2$

$(9 - r)^2 + r^2 = (8 + r)^2$

$81 - 18r + r^2 + r^2 = 64 + 16r + r^2$

$r^2 - 34r + 17 = 0$

解の公式を用いると、

$r = \frac{-(-34) \pm \sqrt{(-34)^2 - 4 * 1 * 17}}{2 * 1} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 68}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1088}}{2} = \frac{34 \pm 8\sqrt{17}}{2} = 17 \pm 4\sqrt{17}$

しかし、$r$は8より小さいので、$r = 17 - 4\sqrt{17} \approx 0.51$

3. 最終的な答え

点Pを中心とする円の半径は$17 - 4\sqrt{17}$cm。