与えられた三角錐PABCにおいて、AB = AC = 5cm, AP = 3cm, BC = 4cm, PQ : QB = PR : RC = 2 : 1である。 (1) 三角錐PABCの体積を求めよ。 (2) 2点Q, Rを通り、辺APに平行な平面で三角錐PABCを2つの立体に切り分けたとき、頂点Bを含む方の立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた三角錐PABCにおいて、AB = AC = 5cm, AP = 3cm, BC = 4cm, PQ : QB = PR : RC = 2 : 1である。

(1) 三角錐PABCの体積を求めよ。

(2) 2点Q, Rを通り、辺APに平行な平面で三角錐PABCを2つの立体に切り分けたとき、頂点Bを含む方の立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、三角形ABCの面積を求める。AB = AC = 5cm, BC = 4cmより、三角形ABCは二等辺三角形である。BCの中点をMとすると、AMはBCに垂直で、BM = MC = 2cmである。

三平方の定理より、$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$cmとなる。

したがって、三角形ABCの面積は、$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{21} = 2\sqrt{21}$cm$^2$である。

次に、三角錐PABCの体積を求める。頂点Pから底面ABCへの垂線の長さがAP = 3cmであると仮定する（問題文からAPが底面に垂直とは限らないが、図からそのように解釈できる）。

すると、三角錐PABCの体積は、$V_{PABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AP = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{21} \times 3 = 2\sqrt{21}$cm$^3$となる。

(2) 2点Q, Rを通りAPに平行な平面で切断された三角錐を考える。

$PQ:QB = PR:RC = 2:1$なので、$AQ:AB = AR:AC = 1:3$となる。

この平面で切断されたことによって、頂点Pを含む三角錐APQRと、頂点Bを含む立体に分かれる。求めるのは頂点Bを含む立体の体積である。

三角錐APQRの体積を求める。

三角錐APQRの体積は、$V_{APQR} = \frac{PQ}{PB} \times \frac{PR}{PC} \times \frac{PA}{PA} \times V_{PABC}$と表せる。

$PQ = \frac{2}{3}PB$, $PR = \frac{2}{3}PC$, $PA = PA$.

よって、$V_{APQR} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times 1 \times V_{PABC} = \frac{4}{9} \times 2\sqrt{21} = \frac{8\sqrt{21}}{9}$cm$^3$となる。

頂点Bを含む立体の体積は、$V_{PABC} - V_{APQR} = 2\sqrt{21} - \frac{8\sqrt{21}}{9} = \frac{18\sqrt{21} - 8\sqrt{21}}{9} = \frac{10\sqrt{21}}{9}$cm$^3$となる。

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{21}$ cm$^3$

(2) $\frac{10\sqrt{21}}{9}$ cm$^3$