2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 2つの円が異なる2点で交わることを示します。 (2) 2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めます。 (3) 2つの円の2つの交点と点(2, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示します。

(2) 2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めます。

(3) 2つの円の2つの交点と点(2, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{10}$ です。

円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ を変形すると、$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$ となるので、中心は $(1, 2)$、半径は $\sqrt{5}$ です。

2つの円の中心間の距離を $d$ とすると、$d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ です。

2つの円の半径をそれぞれ $r_1, r_2$ とすると、$r_1 = \sqrt{10}, r_2 = \sqrt{5}$ です。

$|r_1 - r_2| = |\sqrt{10} - \sqrt{5}| = \sqrt{10} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)$

$r_1 + r_2 = \sqrt{10} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$

ここで、$\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1) < \sqrt{5} < \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$ であるので、

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ が成り立ちます。よって、2つの円は異なる2点で交わります。

(2)

2つの円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差をとることで求められます。

$(x^2 + y^2 - 10) - (x^2 + y^2 - 2x - 4y) = 0$

$2x + 4y - 10 = 0$

$x + 2y - 5 = 0$

(3)

2つの円の交点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 10 + k(x + 2y - 5) = 0$ と表せます。

この円が点 (2, 3) を通るので、

$2^2 + 3^2 - 10 + k(2 + 2 \cdot 3 - 5) = 0$

$4 + 9 - 10 + k(2 + 6 - 5) = 0$

$3 + 3k = 0$

$k = -1$

したがって、求める円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 10 - (x + 2y - 5) = 0$

$x^2 + y^2 - x - 2y - 5 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = 5 + \frac{1}{4} + 1 = \frac{25}{4}$

よって、円の中心は $(\frac{1}{2}, 1)$、半径は $\frac{5}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は異なる2点で交わる（証明済み）

(2) $x + 2y - 5 = 0$

(3) 中心: $(\frac{1}{2}, 1)$、半径: $\frac{5}{2}$