点A(2, 3)と点B(6, 1)が与えられています。 (1) 点Aと点Bから等距離にある点Pの軌跡を求める問題。 (2) 点Aと点Bからの距離の比が1:3である点Qの軌跡を求める問題。

1. 問題の内容

点A(2, 3)と点B(6, 1)が与えられています。

(1) 点Aと点Bから等距離にある点Pの軌跡を求める問題。

(2) 点Aと点Bからの距離の比が1:3である点Qの軌跡を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの軌跡を求める。

点Pの座標を(x, y)とおく。

AP = BPであるから、$AP^2 = BP^2$

$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$

$BP^2 = (x - 6)^2 + (y - 1)^2$

したがって、

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y - 1)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 2y + 1$

$-4x - 6y + 13 = -12x - 2y + 37$

$8x - 4y - 24 = 0$

$2x - y - 6 = 0$

$y = 2x - 6$

(2) 点Qの軌跡を求める。

点Qの座標を(x, y)とおく。

AQ : BQ = 1 : 3であるから、3AQ = BQ。

よって、$9AQ^2 = BQ^2$

$AQ^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$

$BQ^2 = (x - 6)^2 + (y - 1)^2$

$9((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = (x - 6)^2 + (y - 1)^2$

$9(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 2y + 1$

$9(x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13) = x^2 - 12x + y^2 - 2y + 37$

$9x^2 - 36x + 9y^2 - 54y + 117 = x^2 - 12x + y^2 - 2y + 37$

$8x^2 - 24x + 8y^2 - 52y + 80 = 0$

$x^2 - 3x + y^2 - \frac{13}{2}y + 10 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y - \frac{13}{4})^2 - \frac{169}{16} + 10 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{13}{4})^2 = \frac{9}{4} + \frac{169}{16} - \frac{160}{16}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{13}{4})^2 = \frac{36}{16} + \frac{169}{16} - \frac{160}{16}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{13}{4})^2 = \frac{45}{16}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{13}{4})^2 = (\frac{3\sqrt{5}}{4})^2$

3. 最終的な答え

(1) 点Pの軌跡：$y = 2x - 6$

(2) 点Qの軌跡：$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{13}{4})^2 = \frac{45}{16}$ （中心 $(\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$、半径 $\frac{3\sqrt{5}}{4}$ の円）