三角錐PABCにおいて、$PA = \sqrt{3}$、$PB = \sqrt{3}$、$PC = \sqrt{2}$、$\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$である。点Pから$\triangle ABC$を含む平面に垂線PHを下ろす。以下の問いに答える。 (1) $\triangle ABC$の面積Sを求めよ。 (2) 三角錐PABCの体積Vを求めよ。 (3) PHの長さをhを求めよ。

1. 問題の内容

三角錐PABCにおいて、$PA = \sqrt{3}$、$PB = \sqrt{3}$、$PC = \sqrt{2}$、$\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$である。点Pから$\triangle ABC$を含む平面に垂線PHを下ろす。以下の問いに答える。

(1) $\triangle ABC$の面積Sを求めよ。

(2) 三角錐PABCの体積Vを求めよ。

(3) PHの長さをhを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積Sを求める。

まず、$AB, BC, CA$の長さを求める。

$\triangle APB$において、$\angle APB = 90^\circ$なので、三平方の定理より、

$AB^2 = PA^2 + PB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$

$AB = \sqrt{6}$

$\triangle BPC$において、$\angle BPC = 90^\circ$なので、三平方の定理より、

$BC^2 = PB^2 + PC^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$

$BC = \sqrt{5}$

$\triangle CPA$において、$\angle CPA = 90^\circ$なので、三平方の定理より、

$CA^2 = PC^2 + PA^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$

$CA = \sqrt{5}$

$\triangle ABC$は$BC = CA = \sqrt{5}$の二等辺三角形である。

ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{5}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{s(s-\sqrt{6})(s-\sqrt{5})(s-\sqrt{5})}$

ここで、別の方法で面積を求める。

$AB=\sqrt{6}, BC = \sqrt{5}, AC = \sqrt{5}$。

$BC = AC$より、$\triangle ABC$は二等辺三角形。

AからBCに垂線を下ろし、交点をMとすると、BM = MC = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\triangle ABM$において、三平方の定理より、$AM^2 + BM^2 = AB^2$

$AM^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = (\sqrt{6})^2$

$AM^2 + \frac{5}{4} = 6$

$AM^2 = 6 - \frac{5}{4} = \frac{24 - 5}{4} = \frac{19}{4}$

$AM = \frac{\sqrt{19}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{19}}{2} = \frac{\sqrt{95}}{4}$

また、$S = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPA$の面積はそれぞれ、

$\frac{1}{2} PA \cdot PB = \frac{1}{2} \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} PB \cdot PC = \frac{1}{2} \sqrt{3} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\frac{1}{2} PC \cdot PA = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\triangle ABC$の面積を求める別解：

$S^2 = \frac{1}{4} \left( (PA^2 PB^2 + PB^2 PC^2 + PC^2 PA^2) \right)$

$S^2 = \frac{1}{4} \left( (3 \times 3 + 3 \times 2 + 2 \times 3) \right) = \frac{1}{4} \left( 9 + 6 + 6 \right) = \frac{21}{4}$

$S = \frac{\sqrt{21}}{2}$

$S = \sqrt{\frac{12}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) 三角錐PABCの体積Vを求める。

$V = \frac{1}{6} PA \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{6} \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{6} 3 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$V = \frac{\sqrt{4}}{5}$ より $V= \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) PHの長さをhを求める。

$V = \frac{1}{3} S \cdot h$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{21}}{2} h$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{21}}{6} h$

$h = \frac{6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{21}} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{42}}{7}$

$h = \frac{\sqrt{6 \times 7}}{8}$

$h = \sqrt{\frac{6}{7}} = \frac{1}{7}\sqrt{42}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) $V = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $h = \frac{\sqrt{42}}{7}$

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1. 問題の内容

三角錐PABCにおいて、$PA = \sqrt{3}$, $PB = \sqrt{3}$, $PC = \sqrt{2}$, $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$である。点Pから$\triangle ABC$を含む平面に垂線PHを下ろす。

(1) $\triangle ABC$の面積Sを求めよ。

(2) 三角錐PABCの体積Vを求めよ。

(3) PHの長さをhを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積Sを求める。

$AB = \sqrt{PA^2 + PB^2} = \sqrt{3+3} = \sqrt{6}$

$BC = \sqrt{PB^2 + PC^2} = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$

$CA = \sqrt{PC^2 + PA^2} = \sqrt{2+3} = \sqrt{5}$

$\triangle ABC$は$AC = BC$の二等辺三角形である。ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{5}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-\sqrt{6})(s-\sqrt{5})(s-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) 三角錐PABCの体積Vを求める。

$V = \frac{1}{6} PA \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{6} \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) PHの長さをhを求める。

$V = \frac{1}{3} S \cdot h$ より、

$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{42}}{21} = \frac{\sqrt{42}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) $V = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $h = \frac{\sqrt{42}}{7}$

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